Après les travaux pionniers de Planck sur la quantification de l’énergie et ceux d’Einstein sur la quantification du rayonnement lumineux, une nouvelle étape décisive dans la genèse de la mécanique quantique s’ouvre avec le modèle atomique de Bohr. Ce modèle s’inscrit dans un contexte scientifique où l’étude des raies spectrales d’émission et d’absorption des atomes, et en particulier celles de l’hydrogène, constitue un enjeu important en physique, depuis la seconde moitié du 19ème siècle.
Malgré les avancées expérimentales dans l’identification et la classification de ces raies, aucun modèle théorique ne permettait encore d’expliquer leur nature discontinue. L’émergence des premiers concepts quantiques, bien que novateurs, restait encore partiellement déconnectée des structures atomiques elles-mêmes.
C’est précisément ce pont que va tenter de jeter Niels Bohr en 1913, en s’appuyant à la fois sur la stabilité paradoxale des atomes et sur l’hypothèse de quantification de l’énergie. Son modèle marque une rupture importante avec la physique classique en introduisant des postulats quantiques dans la description des orbites électroniques. Il propose ainsi une première interprétation théorique cohérente des raies spectrales de l’hydrogène.
Dans cet article, nous allons d’abord rappeler le contexte historique dans lequel le modèle de Bohr a émergé, avant de présenter en détail ses postulats, ses apports et ses limites. Nous aborderons également le principe de correspondance qu’il introduit pour assurer une transition douce entre mécanique classique et mécanique quantique, puis les améliorations proposées par Sommerfeld avec les orbites elliptiques. Enfin, nous terminerons par un rapide aperçu de la structure fine des raies spectrales de l’hydrogène.
Le contexte historique
Nous avions terminé l’article sur la constitution de la matière à l’aube du 20ème siècle en évoquant le livre de Jean Perrin « les Atomes » publié en 1911. Pour faire la transition avec le modèle atomique de Bohr, et rappeler les questions que se posent la communauté scientifique à ce moment-là, on va se référer aux propos tenus par le mathématicien et physicien français Henri Poincaré à l’occasion d’une conférence faite à la société française de physique le 11 avril 1912 (propos retranscris dans son livre « Dernières pensées » paru en 1920) : « Les brillantes déterminations du nombre des atomes faites par M. Perrin ont complété ce triomphe de l’atomisme. Ce qui entraîne notre conviction, ce sont les multiples concordances entre des résultats obtenus par des procédés entièrement différents. L’atome du chimiste est maintenant une réalité ; mais cela ne veut pas dire que nous sommes près de toucher les éléments ultimes des choses. Quand Démocrite a inventé les atomes, il les considérait comme des éléments absolument indivisibles et au-delà desquels il n’y a plus rien à chercher… Et d’abord les corps que l’on croyait simples, et qui, à bien des égards, se comportent tout à fait comme des corps simples, sont susceptibles de se décomposer en corps plus simples encore. L’atome se désagrège en atomes plus petits. Ce qu’on appelle la radioactivité n’est qu’une perpétuelle désagrégation de l’atome… Ce n’est pas tout, dans l’atome nous trouvons bien d’autres choses : nous y trouvons d’abord des électrons ; chaque atome nous apparaît alors comme une sorte de système solaire, où de petits électrons négatifs jouant le rôle de planètes gravitent autour d’un gros électron positif qui joue le rôle de soleil central… En même temps il faut expliquer les lois si curieuses de la répartition des raies dans le spectre. D’après les travaux de Balmer, de Runge, de Kaiser, de Rydberg, ces raies se répartissent en séries et dans chaque série obéissent à des lois simples. La première pensée est de rapprocher ces lois de celles des harmoniques. De même qu’une corde vibrante a une infinité de degrés de liberté, ce qui lui permet de donner une infinité de sons dont les fréquences sont les multiples de la fréquence fondamentale ; de même qu’un corps sonore de forme complexe donne aussi des harmoniques, dont les lois sont analogues, quoique beaucoup moins simples, de même qu’un résonateur de Hertz est susceptible d’une infinité de périodes différentes, l’atome ne pourrait-il donner, pour des raisons identiques, une infinité de lumières différentes ? Vous savez que cette idée si simple a fait faillite, parce que, d’après les lois spectroscopiques, c’est la fréquence et non son carré dont l’expression est simple ; parce que la fréquence ne devient pas infinie pour les harmoniques de rang infiniment élevé. L’idée doit être modifiée ou elle doit être abandonnée… Ce qui semble l’explication naturelle, c’est justement que l’atome est un monde complexe, mais un monde fermé ; les perturbations extérieures n’ont aucune répercussion sur ce qui se passe en dedans et ce qui se passe en dedans n’agit pas sur le dehors ; cela ne saurait être tout à fait vrai, sans cela nous ignorerions toujours ce qui se passe en dedans, et l’atome nous apparaîtrait comme un simple point matériel … La porte qui ferme le monde intérieur de l’atome s’entre ouvre pourtant de temps en temps ; c’est ce qui arrive quand, par l’émission d’une particule d’hélium, l’atome se dégrade et descend d’un rang dans la hiérarchie radioactive… À mesure que la science progresse, il devient de plus en plus difficile de faire place à un fait nouveau qui ne se case pas naturellement. Les théories anciennes reposent sur un grand nombre de coïncidences numériques qui ne peuvent être attribuées au hasard ; nous ne pouvons donc disjoindre ce qu’elles ont réuni ; nous ne pouvons plus briser les cadres, nous devons chercher à les plier ; et ils ne s’y prêtent pas toujours ».
Nous allons revenir très rapidement ci-dessous sur l’état des connaissances sur la matière, les rayonnements et l’interaction entre ces rayonnements et la matière au moment où Bohr propose son célèbre modèle atomique. Vous constaterez au travers de notre rapide tour d’horizon que les découvertes sur la matière ont plutôt été le fait de scientifiques britanniques (Thomson, Rutherford, Bohr ; Bohr était danois mais il travaillait en Angleterre au moment où il a fait ses découvertes), alors que les découvertes sur la lumière ont plutôt été le fait de scientifiques allemands (Kirchhoff, Planck, Einstein).
Concernant la matière, on sait alors avec les travaux de synthèse de Jean Perrin que la matière est constituée d’atomes. Mais contrairement à ce que pensait Démocrite, les atomes ne sont pas ni immuables, ni insécables. Ils ne sont pas les composants élémentaires de la matière. Thomson a ainsi découvert en 1897 que les atomes contenaient des électrons, particules chargées négativement, et Rutherford a montré en 1911 que les atomes étaient constitués d’un noyau atomique chargé positivement autour duquel des électrons chargés négativement étaient en orbite. Il avait également démontré que la taille du noyau atomique était très petite par rapport à celle de l’atome. Les atomes sont donc essentiellement constitués de vide. Par ailleurs, les atomes ne sont pas forcément immuables, ils peuvent se transformer sous l’effet de la radioactivité, découverte en 1896 par Becquerel, puis Pierre et Marie Curie et Rutherford. Nous reviendrons sur toutes ces découvertes dans la troisième rubrique relative au modèle atomique, mais au début de l’année 1913, c’est-à-dire avant les travaux de Niels Bohr, le modèle atomique de référence est celui de Rutherford, dans lequel on trouve un noyau atomique dense chargé positivement autour duquel gravitent les électrons.
Concernant les rayonnements, les physiciens avaient découvert à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème siècle différents rayons dont la nature était inconnue : les rayons cathodiques, les rayons X découverts par Röntgen ou les différents rayonnements associés à la radioactivité, les rayons alpha, béta et gamma. Ils portaient tous le nom de rayon, mais étaient-ils de même nature ? S’agissait-il de rayons lumineux ou de rayons de matière ? Pour les discriminer, plusieurs critères ont été utilisés : le pouvoir de pénétration des rayons à travers des plaques métalliques de différentes natures et de différentes épaisseurs (les rayons de matière ont plus de mal à pénétrer que les rayons électromagnétiques de haute fréquence), la possibilité de les dévier par des champs électrique ou magnétique (seules les particules de matière chargées sont déviés, alors que les ondes électromagnétiques ne sont pas affectées), ou encore les propriétés optiques potentielles des rayons (diffraction, interférences). Au moment où Bohr propose son modèle atomique tous ces rayonnements ou presque avaient été caractérisés : les rayons cathodiques sont des faisceaux d’électrons, les rayons X sont des rayons électromagnétiques au même titre que la lumière, les rayons alpha sont des noyaux d’hélium, les rayons béta sont également des électrons. Pour les rayons gamma, Rutherford pensait au début qu’il s’agissait de rayons de matière chargée au même titre que les rayons alpha et béta, mais quelle que soit l’intensité du champ magnétique appliqué on n’arrivait pas à dévier le rayonnement gamma. En 1913, l’hypothèse majoritaire était donc de considérer qu’il s’agissait d’un rayonnement électromagnétique, ce qui fut confirmé expérimentalement en 1914, à l’occasion d’une expérience de diffraction des rayons gamma par des cristaux.
Concernant l’interaction entre la lumière et la matière, l’effet photoélectrique, c’est-à-dire le fait de pouvoir arracher un électron à de la matière avec de la lumière ultra-violette, avait été expliqué en 1905 par Einstein. Par ailleurs pour tous les atomes, on avait pu caractériser le spectre d’émission ou d’absorption dans le domaine visible, notamment grâce aux travaux de Kirchhoff. Mais il n’y avait aucune explication théorique à ces spectres. Même pour l’atome le plus simple, l’hydrogène, on n’avait pas d’explication aux valeurs de ses raies spectrales. Ainsi la formule proposée par le mathématicien suisse Balmer en 1888, même si elle reflétait parfaitement les valeurs des raies de l’hydrogène, n’était à ce stade qu’un artifice mathématique sans fondement autre qu’expérimental.
Il faudra donc attendre 1913[1] et le modèle atomique proposé par le physicien danois Niels Bohr pour donner une première véritable proposition d’explication théorique aux raies spectrales de l’hydrogène. A cette époque il existe deux modèles d’atomes, le modèle dit du pudding aux raisins de Thomson et le modèle planétaire de Rutherford (cf. la partie consacrée à l’élaboration du modèle atomique). Partant de ce dernier modèle (il était plus récent, mais surtout Bohr se sentait plus proche de Rutherford que de Thomson, chez qui il avait pourtant commencé ses recherches en Angleterre, mais avec qui la collaboration ne semble pas avoir été très fructueuse), Bohr cherche à expliquer pourquoi les électrons qui sont en rotation autour du noyau ne finissent pas par s’écraser sur lui. On savait en effet à cette époque qu’un électron soumis à une accélération émet un rayonnement électromagnétique (formule de Larmor établie en 1897). L’électron en rotation autour du noyau devrait donc perdre progressivement de l’énergie par rayonnement, et finir par s’écraser sur le noyau atomique. Le modèle de Bohr permettra de fournir une explication à la stabilité des atomes (au fait que les électrons ne s’écrasent pas sur le noyau).
Par ailleurs, dans le modèle planétaire de Rutherford, les électrons en rotation autour du noyau devraient émettre des rayonnements électromagnétiques suivant des harmoniques multiples d’une fréquence de base. Pour expliquer cela on peut faire l’analogie avec une corde vibrante qui émet des sons suivant des harmoniques, multiples entiers d’une fréquence de base. Or ce n’est pas du tout ce qui est observé dans le cadre du rayonnement électromagnétique des atomes. Les fréquences mesurées pour les raies spectrales ne sont pas des multiples d’une fréquence de base, comme en témoigne la répartition des raies d’émission de l’atome d’hydrogène qui ne sont pas régulièrement espacées.
Le modèle planétaire de Rutherford ne permettait donc d’expliquer ni la stabilité de l’atome, ni les raies spectrales d’émission / absorption de ces atomes. Ayant pris par hasard connaissance de la série de Balmer, et étant évidemment au courant des travaux préalables de Planck et Einstein, Bohr suggérera alors très rapidement son modèle atomique quantique en contradiction avec la théorie classique de l’électromagnétisme.
Le modèle atomique de Bohr
Bohr cherchait dans un premier temps à trouver une explication générale à la stabilité des atomes. Mais dans la modélisation de ces atomes, il se heurte rapidement à la grande complexité des interactions entre l’ensemble des constituants et en particulier aux nombreuses interactions électromagnétiques répulsives entre les différents électrons. Pour faire abstraction de cette répulsion électromagnétique entre électrons, il va se limiter au cas le plus simple, celui de l’atome d’hydrogène qui ne comprend qu’un seul électron en orbite autour du noyau.
Partant du modèle de Rutherford, Bohr introduit alors progressivement trois postulats pour « expliquer » la stabilité des atomes. Ces postulats découlent directement des calculs des orbites de l’atome d’hydrogène que l’on détaille dans la parenthèse mathématique. Pour ceux qui n’ont pas le courage ou l’envie de s’y plonger, voilà les trois postulats de Bohr :
- Le premier postulat suppose qu’il existe des orbites circulaires stables pour les électrons. Une fois sur une de ces orbites, l’électron ne rayonne aucune énergie électromagnétique. Il ne décroit donc pas en spirale et peut rester indéfiniment sur cette orbite.
- Selon le deuxième postulat, chacune de ces orbites correspond à une énergie bien définie de l’électron, et ces niveaux d’énergie sont de valeur négative pour signifier que l’atome constitué d’un noyau et d’un électron est stable (la configuration de plus basse énergie est la plus stable). L’état de plus basse énergie est appelé l’état fondamental de l’électron.
- Selon le troisième postulat, l’électron peut passer d’une orbite à une autre, c’est-à-dire d’un niveau d’énergie à un autre, par absorption ou émission d’un quantum de lumière (appelé photon ultérieurement). L’absorption d’un photon fait ainsi passer l’électron d’une orbite basse (proche du noyau) d’énergie faible à une orbite haute (loin du noyau) d’énergie plus élevée. L’émission d’un photon correspond à l’opération inverse. L’électron passe d’une orbite éloignée de haute énergie à une orbite proche du noyau de plus basse énergie, le surplus d’énergie étant expulsé sous forme d’un photon. Ceci explique pourquoi on observe un spectre d’absorption et un spectre d’émission et pourquoi ils ont les mêmes raies, c’est-à-dire les mêmes longueurs d’onde.
Parenthèse mathématique – Le modèle atomique de Bohr |
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Dans les équations de Bohr, l’énergie \(E_{1}\) est l’énergie du niveau fondamental. Pour l’hydrogène, cette énergie possède la valeur bien connue de -13,6 eV. Cette énergie est négative pour signifier qu’il s’agit de l’orbite la plus stable et donc celle de plus basse énergie. Le fait qu’il existe une orbite de plus basse énergie rend compte de la stabilité des atomes. Les électrons ne pouvant pas avoir un niveau d’énergie inférieur à ce niveau fondamental, ils ne peuvent pas s’écraser sur le noyau atomique.
Le modèle de Bohr rend compte des raies d’absorption et d’émission des atomes. Lorsqu’on prend une transition entre deux niveaux d’énergie m et n, on retrouve bien la formule empirique de Rydberg. Cette quantification de Bohr introduit un premier nombre quantique, noté n, et qui correspond au niveau d’énergie de l’électron. Le modèle de Bohr permet donc de donner une explication théorique aux valeurs des raies spectrales de l’hydrogène trouvées expérimentalement.
Il permet également de donner une explication plausible à deux autres caractéristiques physiques des atomes d’hydrogène, la taille de l’atome et son énergie d’ionisation. Dans le modèle de Bohr, on peut en effet assimiler la taille de l’atome au rayon de l’orbite de plus basse énergie, que l’on appelle le rayon de Bohr d’une valeur approximative de 5×10-11 m. Ce rayon de l’atome proposé par Bohr était tout à fait cohérent avec les valeurs obtenues dans le cadre de la loi de comportement des gaz proposé par Van der Waals (cf. chapitre introductif sur la matière). D’autant que si on prend le niveau d’énergie suivant (n=2) on arrive à un rayon de 2×10-10 m.
Concernant l’énergie d’ionisation, on peut considérer dans le modèle de Bohr qu’il faut fournir suffisamment d’énergie pour passer du niveau de plus basse énergie à un niveau d’énergie nulle correspondant à un nombre quantique tendant vers l’infini. L’énergie d’ionisation est donc équivalente à l’énergie de l’orbite de plus basse énergie, à savoir -13,6 eV. Cette énergie d’ionisation est en parfaite adéquation avec les valeurs mesurées.
Les avancées apportées par le modèle de Bohr
La première grande avancée du modèle de Bohr est l’explication des raies spectrales d’absorption et d’émission des atomes. Commençons par les raies d’absorption. Lorsqu’un électron se trouve dans un niveau de basse énergie, il peut être excité par un faisceau de lumière incident. Pour qu’il passe à une orbite supérieure, il faut que l’énergie du photon corresponde exactement à la différence d’énergie entre les deux orbites. Seules certaines longueurs d’onde sont donc absorbées par les atomes, conduisant ainsi aux raies noires dans les spectres d’absorption. Pour les raies d’émission c’est le contraire, un électron dans un état excité peut émettre un photon dont l’énergie va correspondre exactement à la différence de niveaux d’énergie entre les orbites initiale et finale. L’espacement entre les raies spectrales diminue au fur et à mesure que l’on augmente le niveau d’énergie, et tend vers zéro. De fait il existe une fréquence du rayonnement incident au-delà de laquelle l’électron ne change plus d’orbite, mais est éjecté de l’atome. Ce phénomène d’ionisation à grande fréquence est à l’origine de l’effet photoélectrique théorisé par Einstein en 1905.
En étendant son modèle atomique à des atomes comportant plusieurs électrons, Niels Bohr constata qu’il était nécessaire que plusieurs électrons puissent occuper une même couche. Par exemple, dans l’atome de lithium, qui possède trois électrons, les deux premiers occupent la couche de plus basse énergie, comme dans l’atome d’hélium, tandis que le troisième électron se trouve sur une couche supérieure, plus énergétique. Bohr introduisit alors la notion de « couche électronique », et remarqua que la similitude des propriétés chimiques entre l’hydrogène et le lithium pouvait s’expliquer par la présence d’un unique électron sur la couche externe dans les deux cas. Cette observation permettait d’établir un lien direct avec le tableau périodique de Mendeleïev : les éléments d’une même colonne ont des structures électroniques similaires sur leur couche périphérique, ce qui explique leurs propriétés chimiques voisines.
À partir de 1913, Bohr développa progressivement un modèle où les électrons occupent des couches successives autour du noyau, et que ces couches doivent être remplies dans un ordre déterminé. En 1922, il applique ce raisonnement à l’atome de sodium (onzième élément du tableau), qui partage des propriétés avec l’hydrogène et le lithium. Bohr en conclut que le sodium possède également un seul électron sur sa couche externe, la troisième cette fois, précédée de deux électrons sur la première couche et huit sur la deuxième.
Ce modèle rendait compte de la périodicité des propriétés chimiques : les gaz nobles, situés à la fin de chaque ligne du tableau, marquent la complétion d’une couche électronique. Ainsi, l’hélium a deux électrons (couche K remplie), le néon en a dix (couches K et L remplies), l’argon 18, et ainsi de suite. On en déduit que la première couche peut contenir jusqu’à 2 électrons, la deuxième 8, la troisième 8 ou plus (jusqu’à 18 en théorie), et la quatrième jusqu’à 32. Bohr nomma ces couches avec des lettres : K, L, M, N, correspondant respectivement aux première, deuxième, troisième et quatrième couche. Le modèle permettait aussi d’expliquer pourquoi les alcalins (lithium, sodium, potassium…) ont tendance à perdre facilement leur électron externe pour former des cations (ions positifs), tandis que les halogènes (fluor, chlore, brome…) tendent à capter un électron pour compléter leur couche externe et former des anions (ions négatifs).
L’un des succès les plus éclatants du modèle de Bohr fut la prédiction des propriétés chimiques de l’atome hafnium (Z=72). Découvert par George Urbain en 1922 à partir d’une analyse spectroscopique, ce nouvel élément avait été initialement classé parmi les terres rares. Mais Bohr, en s’appuyant sur son modèle de couches électroniques, proposa qu’il devait en réalité ressembler au zirconium, car sa structure électronique suggérait un comportement chimique similaire. Deux collaborateurs de Bohr, Dirk Coster et George de Hevesy, confirmèrent cette hypothèse en identifiant l’élément dans des minéraux contenant du zirconium. L’élément fut baptisé hafnium, du nom latin de Copenhague (Hafnia), en hommage à la ville natale de Bohr.
Malgré ces succès, le modèle de Bohr ne permettait pas de justifier pourquoi chaque couche ne pouvait contenir qu’un nombre limité d’électrons. Pourquoi deux pour la première, huit pour la deuxième ? Il fallut attendre l’avènement de la mécanique quantique avec le modèle de Schrödinger et l’introduction de la notion de spin (en 1925) pour expliquer que chaque orbitale ne peut accueillir qu’au maximum deux électrons de spin opposé. Cela permit d’établir la règle 2n2, donnant le nombre maximal d’électrons par couche (où n est le numéro de la couche). Ainsi, le modèle de Bohr, bien qu’incomplet, a jeté les bases essentielles de notre compréhension moderne de la structure atomique et a offert une explication remarquable à la périodicité du tableau de Mendeleïev.
Pour terminer ce chapitre, et afin d’illustrer l’importance du modèle atomique proposé par Niels Bohr, on va se référer aux propos de Max Planck dans son livre « Initiations à la Physique » publié en France en 1941 : « C’est à la découverte et au développement de la théorie atomique de Niels Bobr que la théorie des quanta doit son fondement le plus solide. Cette théorie est, en effet, la première qui ait réussi en s’appuyant sur le quantum d’action à trouver une clef permettant de pénétrer dans le domaine mystérieux de la spectroscopie. Depuis la découverte de l’analyse spectrale, toutes les tentatives d’explication des phénomènes qu’elle avait révélée étaient restées vaines. Mais à peine la voie d’accès eut elle été trouvée avec la théorie de Bohr qu’on assista à une véritable avalanche de connaissances nouvelles dans ce domaine et dans tous les domaines voisins de la physique et de la chimie. La première découverte sensationnelle fut l’explication théorique de la formule empirique de la série de Balmer dans le cas de l’hydrogène et de l’hélium ».
Le principe de correspondance
Le modèle de Bohr permet donc, à partir d’une hypothèse de quantification du moment cinétique, d’expliquer relativement simplement les raies spectrales de l’hydrogène, la taille d’un atome d’hydrogène et enfin son énergie d’ionisation. Il restait malgré tout une difficulté dans cette théorie, c’est sa contradiction avec la théorie classique de l’électromagnétisme qui avait très largement fait ses preuves. On arrive alors à un point très important de cette physique quantique naissante, et qui sera une préoccupation permanente des physiciens dans les années 1920, c’est la nécessité, lorsque l’on passe du monde microscopique au monde macroscopique, de retrouver les théories classiques de la physique. C’est ce qui conduira Bohr à formuler le principe de correspondance en 1923. Comme on le verra ce principe revêtira dans ces premières années de la physique quantique une importance toute particulière. Le principe de correspondance s’énonce comme suit : « Lorsque les grandeurs caractéristiques d’un système quantique, comme l’action ou l’énergie, deviennent très grandes par rapport à la constante de Planck, les prédictions de la mécanique quantique doivent converger vers celles de la mécanique classique ».
Dans cet esprit, Bohr expliquera que lorsque l’électron est dans un niveau d’énergie proche de zéro, correspondant à un nombre quantique très élevé, il doit avoir un comportement équivalent à celui donné par la théorie classique de l’électromagnétisme. Lorsque l’électron passe d’un niveau d’énergie proche de zéro à un autre niveau d’énergie proche, la fréquence du rayonnement émis doit ainsi correspondre à la fréquence de radiation d’un électron en mouvement telle que donnée par la théorie classique de l’électromagnétisme. Ce qui permet de réconcilier le modèle de Bohr avec cette théorie de l’électromagnétisme. On détaille ce principe de correspondance pour le cas historique de l’atome d’hydrogène modélisé par Bohr dans la parenthèse mathématique suivante.
Ce principe de correspondance énoncé par Niels Bohr a joué un rôle fondamental dans la naissance et le développement des différentes formulations de la mécanique quantique. Ce principe a servi de fil directeur conceptuel et méthodologique aux pionniers de la mécanique quantique comme Heisenberg et Schrödinger, chacun à leur manière. On va évoquer l’importance de ce principe de correspondance pour ces deux acteurs de la mécanique quantique naissante. Pour bien comprendre ce qui va être dit ci-dessous, il vous faudra peut-être d’abord prendre connaissance de leurs travaux, respectivement sur la mécanique matricielle et la mécanique ondulatoire, avant de revenir sur ce chapitre.
Avec sa mécanique matricielle développée en 1925, Heisenberg cherchait à décrire les transitions atomiques uniquement au travers de données mesurées expérimentalement sans faire appel à la notion de trajectoire d’un électron qui n’était pas observable. Il s’est appuyé uniquement sur les fréquences et amplitudes des transitions atomiques pour développer sa théorie. L’application du principe de correspondance l’a conduit à postuler que pour des grands nombres quantiques, il fallait retrouver la théorie classique (à l’image de ce que Bohr avait proposé pour son modèle atomique). Ceci l’a conduit à dire que pour ces grands nombres quantiques, les fréquences et amplitudes des radiations électromagnétiques associées aux transitions quantiques entre deux états d’énergie de l’atome devaient tendre vers la fréquence d’oscillation classique de l’électron (qui est modélisé par un oscillateur harmonique). Cet oscillateur harmonique peut être décomposée en série de Fourier. Dans ce cas des grands nombres quantiques, les amplitudes quantiques de transition entre deux niveaux atomiques doivent correspondre aux coefficients de Fourier de la décomposition classique. Or ces coefficients de Fourier ont des propriétés de multiplication très particulier (cf. la parenthèse mathématique sur la somme convolutive dans le chapitre sur la mécanique matricielle). En appliquant le principe de correspondance, il faut que ces propriétés particulières dans la limite des grands nombres quantiques, conduise également à des propriétés particulières sur la multiplication des amplitudes de transition. Or Heisenberg aidé de Born et Jordan constatera que ces propriétés particulières de multiplications correspondaient à celles de matrices. C’est donc le principe de correspondance qui est à l’origine de la mécanique matricielle d’Heisenberg.
En 1926, Schrödinger veut de son côté trouver une équation différentielle décrivant l’évolution des ondes associées aux particules de matière, comme l’électron. Dans une certaine limite, on doit retrouver les lois de la mécanique classique à partir de l’équation de Schrödinger. Cette limite ne se formule pas tout à fait de la même façon que pour la théorie de la mécanique matricielle d’Heisenberg pour laquelle on faisait tendre le nombre quantique vers l’infini. Dans la théorie de Schrödinger, cette limite classique s’obtient en faisant tendre la constante de Planck vers zéro. Expliquons un peu cette idée : on verra que pour mesurer l’importance des effets quantiques il suffisait de comparer l’action caractéristique du système étudié avec la constante de Planck. Lorsque cette action caractéristique est très grande par rapport à la constante de Planck, alors on peut se référer à la physique classique. Or d’un point de vue mathématique, cela revient à dire que pour passer d’une équation de mécanique quantique à une équation de physique classique il faut faire tendre cette constante de Planck vers zéro dans l’équation.
Revenons maintenant à la mécanique ondulatoire de De Broglie et Schrödinger. Le fait qu’on introduise une onde pour décrire le comportement des particules conduit à introduire des opérateurs agissant sur ces fonctions d’onde pour énoncer des équations différentielles de comportement. Pour comprendre ce lien on pourra se référer à la parenthèse mathématique sur le sujet dans le chapitre relatif à l’équation de Schrödinger. Une fois la formulation quantique établie avec ces opérateurs, il faut retrouver la limite classique en faisant tendre la constante de Planck vers zéro. Or dans cette limite, les relations de commutation disparaissent, et les opérateurs se comportent comme des variables classiques (on peut à nouveau connaître simultanément la position et la vitesse, et définir ainsi une trajectoire). Inversement, ce principe de correspondance a pour conséquence de substituer aux grandeurs classiques (comme la position, l’impulsion ou l’énergie) des opérateurs agissant sur les fonctions d’onde lorsque l’on passe de la physique classique à la physique quantique. Les deux opérateurs les plus connus sont ceux de l’impulsion et de l’énergie qui s’écrivent respectivement :
\[\widehat{\mathbf{p}}\mathbf{= – iħ}\frac{\mathbf{\partial}}{\mathbf{\partial x}}\left( ou\ plus\ généralement\ :\widehat{p} = – iħ\nabla \right)\ et\widehat{\mathbf{\ E}}\mathbf{= iħ}\frac{\mathbf{\partial}}{\mathbf{\partial t}}\]
On verra plus loin que dans la mécanique quantique moderne (celle de Dirac établie dans la deuxième partie des années 1920) cet opérateur d’énergie fera référence à l’Hamiltonien. Ainsi, avec le principe de correspondance, la mécanique quantique prolonge la mécanique classique tout en introduisant une nouvelle structure mathématique adaptée à la description des phénomènes microscopiques (des matrices dans le cas d’Heisenberg, et des opérateurs quantiques dans le cas de Schrödinger).
Parenthèse mathématique – Le principe de correspondance |
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Les limites du modèle de Bohr
La première limitation du modèle atomique de Bohr est qu’il n’est applicable qu’à des atomes qui ne possèdent qu’un seul électron, ce qu’un appelle des ions hydrogénoïdes, à savoir l’hydrogène, l’hélium + ou le lithium ++ (ces ions ont perdu respectivement un et deux électrons par rapport à leur structure atomique, pour n’en garder qu’un). Il ne prend pas en compte les interactions électromagnétiques entre électrons, et ne s’applique donc pas aux atomes à plusieurs électrons. Pour être précis les résultats qu’il donne pour les niveaux d’énergie ne correspondent pas aux observations sur les raies spectrales de ces atomes. Par ailleurs il n’explique pas l’effet Zeeman de séparation des raies spectrales sous l’effet du champ magnétique (cf. chapitre sur la découverte du spin). Il faudra donc avoir recours à certains raffinements, à commencer par ceux proposés par Sommerfeld en 1916, que l’on présente dans le chapitre suivant.
Une autre limitation est intrinsèque au modèle de Bohr : comment expliquer la quantification du moment cinétique, qui est l’hypothèse de base de tout le modèle atomique de Bohr. Le premier postulat de Bohr, dont découle toute sa théorie est de supposer la quantification du moment cinétique, mais il n’y a aucun fondement théorique qui justifie cette hypothèse. La seule « preuve » est que cela marche parfaitement dans le cas de l’atome d’hydrogène. Pour avoir une première explication de cette quantification, il faudra attendre la théorie de De Broglie en 1924 sur la dualité onde / corpuscule des électrons. Dans ce cadre, la matière, et en premier lieu les électrons, a non seulement les propriétés d’une particule, mais également celles d’une onde. Il postule que l’électron possède une longueur d’onde au même titre que la lumière, longueur d’onde qui est définie par la relation \(\lambda = h\text{/}mv\). Dans la thèse de De Broglie, une orbite d’un électron résulterait alors d’interférences constructives de cette onde de matière. Pour que l’interférence soit constructive, il faut que la longueur d’une orbite soit un multiple de cette longueur d’onde, ce qu’on peut écrire mathématiquement par \(2\pi r = n\lambda\). D’où on déduit immédiatement que le moment cinétique est quantifié : \(J = mvr = nħ.\ \)L’hypothèse ondulatoire de l’électron introduite par De Broglie permet donc de donner une explication à la quantification du moment cinétique introduite par Bohr pour expliquer la stabilité des orbites atomiques.
Pour autant, il y a dans le modèle de Bohr de nombreux autres points qui restent inexpliqués concernant le comportement de l’électron : Que se passe-t-il pour l’électron entre deux orbites ? l’idée d’un saut quantique n’est pas compatible de la notion de trajectoire ou d’orbite proposée par Bohr. Lors d’un processus d’émission électromagnétique, qu’est-ce qui déclenche le changement d’orbite de l’électron, et comment savoir sur quelle orbite l’électron va se retrouver ? Ainsi, comment l’électron « sait il » qu’il faut émettre un photon d’énergie \(E = h\vartheta\) pour rejoindre une autre orbite ? Toutes ces questions ne trouvent pas de réponse quand on considère que les électrons ont une trajectoire autour du noyau. Il faudra pour expliquer tout cela passer à la mécanique quantique et à la description des atomes avec les orbitales proposées par Schrödinger. Dans ce cadre les électrons n’ont plus une trajectoire mais ont une probabilité de présence au sein d’une orbitale atomique. Dans ce nouveau cadre, les transitions électroniques sont décrites statistiquement, par des probabilités de transition, on y reviendra.
Enfin dernier point, le modèle de Bohr explique la longueur d’onde des raies spectrales mais ne rend pas compte de l’intensité de ces raies. Il ne prévoit pas quelles raies sont plus fortes ou plus faibles, ni la forme des raies. Cette intensité sera également expliquée dans le cadre de l’équation de Schrödinger. L’intensité est liée à la probabilité de transition entre deux niveaux d’énergie. Plus la probabilité est élevée, plus l’intensité de la raie est importante. Celle-ci dépend évidemment aussi de facteurs externes, comme la température qui conduit à ce que des électrons puissent être excités dans des niveaux d’énergie plus élevés (par suite de collisions entre atomes). Le nombre d’atomes excités peut être déterminé en ayant recours à la statistique de Boltzmann. Plus il y a d’atomes avec un électron dans un niveau excité et plus l’intensité sera importante.
Les orbites elliptiques de Sommerfeld (1916)
Comme on vient de la voir, le modèle de Bohr a permis d’expliquer une grande partie des propriétés de l’atome d’hydrogène, et en particulier ses raies spectrales. Mais ce modèle ne permettait pas d’expliquer un certain nombre d’autres caractéristiques physiques, en particulier son extension à des atomes plus gros que l’hydrogène ne correspondait pas très bien à l’expérimentation. Il ne permettait pas non plus d’expliquer l’effet Zeeman ou la séparation fine des raies spectrales.
Dans les années qui ont suivi la publication du modèle de Bohr, le physicien allemand Arnold Sommerfeld joua un rôle clé dans son perfectionnement. En quantifiant les orbites elliptiques et en y intégrant les lois de la relativité restreinte, il parvint à affiner la théorie pour qu’elle rende compte de phénomènes expérimentaux que le modèle initial ne pouvait expliquer. L’introduction des lois de la relativité lui permettra de proposer une explication à la structure fine des raies de l’hydrogène, sujet que l’on aborde dans la partie suivante.
Sommerfeld proposera en 1916[2] que les orbites atomiques n’étaient pas circulaires mais elliptiques. Le modèle de Bohr était inspiré du modèle planétaire de Rutherford, les électrons étaient en rotation autour du noyau atomique à l’image des planètes autour du soleil. Or dans le système solaire, les planètes ne suivent pas des trajectoires circulaires mais des trajectoires elliptiques dont un des foyers est occupé par le soleil. En faisant le parallèle avec le système solaire, Sommerfeld eut l’idée de proposer que les électrons suivaient une trajectoire elliptique dont un des foyers était occupé par le noyau atomique. Dans ce cas, l’énergie de l’électron s’écrit :
\[E = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{L^{2}}{2r^{2}} – \frac{kq_{e}^{2}}{r}\ avec\ L\ la\ norme\ du\ moment\ cinétique\]
Alors que pour un cercle, il n’y a qu’un seul degré de liberté (le rayon), pour une ellipse il y en a deux (le rayon et l’angle). Sommerfeld introduit alors deux conditions de quantification, une sur la quantité de mouvement et une sur le moment cinétique. Cela revient à introduire deux nombres quantiques notés n pour la quantification sur le rayon et k pour celle sur l’angle (au lieu d’un seul dans le modèle de Bohr). En coordonnées polaires, la quantité de mouvement et le moment cinétique vérifient alors les conditions de quantification suivantes :
\[\oint_{}^{}{pdr} = nh\ et\ \oint_{}^{}{Ld\varphi} = kh\ avec\ n\ quelconque\ et\ k = 0,\ \ldots n – 1\]
Ces deux nombres quantiques caractérisent la forme de l’ellipse. Le rapport entre le demi grand axe et le demi petit axe est égal à n/k. Lorsque n=k l’ellipse se résume donc à un cercle. Avec ces conditions de quantification, Sommerfeld trouve une nouvelle expression de l’énergie en fonction de ces deux nombres quantiques :
\[E = – \frac{k^{2}m_{e}q_{e}^{4}}{2ħ^{2}\ (n + k)^{2}}\ \]
Cette expression est identique à celle de Bohr en remplaçant n par n+k. Par ailleurs si on quantifie la norme du moment cinétique alors la projection de ce moment cinétique sur un axe (Oz) arbitraire doit aussi être quantifiée. Sommerfeld introduit alors un nouveau nombre quantique noté m qui vérifie la relation de quantification suivante :
\[L_{z} = mħ\ \ \ avec\ m = – k, – k + 1,\ \ldots,\ – 1,\ 0,\ 1,\ \ldots + k\]
Donc au lieu d’un seul nombre quantique pour le modèle de Bohr qui était restreint à des orbites circulaires, Sommerfeld a introduit trois nombres quantiques pour caractériser la forme de l’ellipse. Ces trois nombres n, k et m sont associés respectivement à l’énergie, à la norme du moment cinétique et à la composante du moment cinétique projetée sur un axe (Oz) arbitraire.
On ne va pas aller plus loin dans la description des travaux de Sommerfeld. Pour conclure, et afin d’éviter la confusion entre les nombres quantiques proposés par Sommerfeld et ceux de la mécanique quantique, qui sont retenus aujourd’hui, on va évoquer la façon moderne de présenter les trois nombres quantiques caractéristiques des orbitales atomiques. Dans le modèle de Schrödinger, les électrons ne sont plus décrits par des orbites qu’elles soient circulaires ou elliptiques, mais par des orbitales qui définissent une probabilité de présence de l’électron (il n’y a pas de trajectoire en mécanique quantique). Dans cette formulation moderne de la mécanique quantique les trois nombres quantiques sont notés n, l et m, respectivement les nombres quantiques principal, secondaire ou azimutal, et magnétique. Le nombre quantique principal n détermine l’énergie de l’électron, le nombre quantique azimutal l décrit la forme de l’orbitale (s, p, d, …) et le nombre quantique magnétique décrit l’orientation spatiale de l’orbitale. Les niveaux d’énergie sont quantifiés par le nombre quantique n suivant la formule de Bohr. En revanche, le fait que les orbitales soient elliptiques conduit à une quantification de la norme du moment cinétique suivant le nombre quantique dit azimutal, noté l, suivant une formule un peu différente de celle du modèle de Sommerfeld :
\[L = \sqrt{l(l + 1)}\ ħ\ \ \ avec\ l = 0,\ 1,\ \ldots n – 1\]
On constate que pour un même niveau d’énergie n, il existe différentes orbitales possibles. On parle alors de dégénérescence du niveau d’énergie En. Par ailleurs, la projection du moment cinétique L sur un axe arbitraire (Oz) est également quantifiée suivant la relation :
\[L_{z} = mħ\ \ \ avec\ m = – l, – l + 1,\ \ldots,\ – 1,\ 0,\ 1,\ \ldots + l\]
Ce troisième nombre quantique, dit magnétique et noté m, permet d’expliquer l’effet Zeeman dit « normal » (cf. chapitre sur le spin). En conclusion, le modèle de Bohr-Sommerfeld l’atome est décrit par trois nombres quantiques notés n, k et m. Et on retrouve également trois nombres quantiques n, l et m dans le modèle de Schrödinger, sous une formulation légèrement différente, notamment pour la norme du moment cinétique, ce qui peut occasionner une certaine confusion lorsqu’on étudie le modèle de Sommerfeld avec notre regard moderne influencé par le modèle de Schrödinger.
Parenthèse mathématique – Moment cinétique versus moment magnétique |
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Même si le modèle de Bohr-Sommerfeld est aujourd’hui devenu obsolète, il a néanmoins été fondamental dans l’évolution de la physique quantique, parce qu’il s’appuie, comme pour les travaux de Planck et d’Einstein, sur une quantification (ici celle des niveaux d’énergie des atomes et du moment cinétique des électrons), et que comme les deux précédentes théories, il collait parfaitement avec le résultat des mesures expérimentales, ici celui des raies d’absorption et d’émission de l’atome d’hydrogène.
Comme on le verra, ce modèle, même s’il a permis de faire des avancées importantes pour comprendre la quantification des raies spectrales de l’atome d’hydrogène, n’est pas conforme à la réalité. De fait les électrons ne tournent pas autour du noyau comme des planètes sur une orbite. Ils sont dans une espèce de nuage autour du noyau avec une certaine probabilité d’être à un niveau d’énergie donné. Ce niveau d’énergie n’est défini qu’à l’occasion d’une mesure expérimentale. Et effectivement on constate que ces niveaux d’énergie « observables » sont « quantifiés ». On reviendra sur ces notions au moment où on abordera l’équation de Schrödinger.
La structure fine des raies spectrales de l’hydrogène
Lors de l’étude du modèle atomique de l’atome d’hydrogène, Sommerfeld proposera également une explication théorique à la décomposition en structure fine des raies spectrales. Pour ceux qui ne connaissent pas ce phénomène, on va commencer par en rappeler la nature.
Lorsqu’on fait une mesure précise des raies spectrales de l’hydrogène, on se rend compte que les raies sont en fait séparées en deux raies très proches. Si on prend par exemple la raie Hα dont la longueur d’onde est 656,3nm, qui correspond à une transition entre les niveaux d’énergie n=3 et n=2. On se rend compte qu’elle est en fait constituée de deux raies séparées de 0,016nm, c’est-à-dire quelque chose d’infime, dans l’absolu, mais également en relatif par rapport à la valeur de la longueur d’onde de la raie considérée. Ce phénomène avait été mis en évidence expérimentalement par Michelson en 1887. On parle bien du même Michelson que celui de l’expérience sur l’éther, mais cette observation de la structure fine de l’hydrogène n’a rien à voir avec l’expérience sur le mouvement de l’éther.
Ce phénomène de séparation des raies spectrales, dit de structure fine, n’avait pas d’explication théorique jusqu’en 1916. On sait aujourd’hui que ce phénomène est du à l’interaction du spin avec le moment magnétique de l’électron qui tourne sur son orbite. Comme le spin a deux valeurs possibles, spin haut et spin bas, on obtient deux niveaux d’énergie distincts qui conduisent donc à une transition énergétique avec deux longueurs d’onde légèrement différentes.
Le premier physicien à avoir proposé une théorie pour expliquer cette structure fine des raies de l’atome d’hydrogène est Sommerfeld. Même si sa théorie est inexacte, il est intéressant de la mentionner parce qu’il introduira à cette occasion la constante de structure fine qui, comme on le verra, est une constante fondamentale de l’électrodynamique quantique et est en fait la caractérisation du niveau d’interaction entre le champ des électrons et le champ des photons en théorie quantique des champs.
Sommerfeld propose dans sa théorie, qu’à partir du moment où les orbitales occupées par l’électron peuvent être aussi bien sphériques qu’elliptiques, la vitesse de l’électron peut devenir relativiste pour les électrons les plus proches du noyau. On peut citer une nouvelle fois l’astronome Charles Nordmann qui en 1921 dans son livre « Einstein et l’Univers » écrit : « M. Sommerfeld a fait le raisonnement suivant : les électrons qui gravitent près du centre d’un atome doivent avoir une vitesse beaucoup plus grande que ceux qui gravitent vers l’extérieur, de même que les planètes inférieures, Mercure et Vénus, ont autour du Soleil des vitesses bien plus grandes que les planètes supérieures, Jupiter, Saturne. Il s’ensuit, — si les idées de Lorentz et d’Einstein sont exactes, — que la masse des électrons internes des atomes doit être plus grande que celle des électrons externes, sensiblement plus grandes, car ces électrons tournent à des vitesses énormes. Le calcul montre alors que, dans ces conditions, chaque raie du spectre d’un élément chimique doit être en réalité composée d’un ensemble de plusieurs petites raies fines et juxtaposées. C’est précisément ce qui a été postérieurement (1916) constaté par Paschen. Il a trouvé que la structure des raies fines est très rigoureusement celle qu’annonçait Sommerfeld. Étonnante confirmation de l’hypothèse faite : exactitude de la nouvelle mécanique ! ».
La correction relativiste des niveaux d’énergie proposée par Sommerfeld donne des résultats en accord avec les mesures des séparations fines dans le spectre de l’hydrogène. C’est un exemple intéressant où la concordance entre théorie et expérience ne garantit pas que l’interprétation théorique soit correcte. En réalité, l’origine principale de la structure fine réside dans le couplage entre le spin de l’électron et le champ magnétique induit par son mouvement orbital autour du noyau, un effet que Sommerfeld ne pouvait pas connaître à l’époque et qui sera mis en évidence par Dirac suite à l’élaboration de l’équation relativiste de l’électron. L’explication de Sommerfeld étant inexacte, il n’est pas nécessaire d’en détailler le calcul. Nous nous contenterons donc d’en présenter le résultat final, qui a l’intérêt d’introduire la constante de structure fine α, dont l’importance est centrale en physique.
\[E_{n} = – \frac{\omega_{0}Z^{2}}{n^{2}}\left\lbrack 1 + \frac{\alpha^{2}Z^{2}}{n}\left( \frac{1}{k} – \frac{3}{4n} \right) \right\rbrack\ avec\ \mathbf{\alpha =}\frac{\mathbf{e}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{ħc}}\mathbf{\cong}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{137}}\mathbf{\ constante\ de\ structure\ fine}\]
Sans la correction relativiste, les niveaux d’énergie ne dépendent que du nombre quantique principal n. Avec la correction, elle dépend aussi du nombre quantique k, ce qui permet d’introduire un dédoublement des niveaux d’énergie et d’expliquer la strucure fine des raies spectrales de l’hydrogène. Même si cette explication de Sommerfeld, basée sur un modèle semi-classique, n’est pas pertinente, elle a donné l’idée que la relativité restreinte pouvait jouer un rôle à l’échelle atomique. C’est cette idée qui plus tard conduira à faire évoluer la mécanique quantique de l’équation de Schrödinger vers l’équation de Dirac.
En théorie quantique des champs cette constante de structure fine est la constante de couplage entre le champ des électrons et le champ des photons. C’est donc un paramètre fondamental du modèle standard de la physique des particules. Elle est souvent citée pour illustrer la pertinence de la théorie quantique des champs, dans la mesure où le niveau de correspondance entre valeur théorique et valeur mesurée par l’expérience est aujourd’hui considéré comme étant le plus important de toute la physique. Un autre point important, que l’on reverra dans le cadre de l’étude de l’électrodynamique quantique, est que la faible valeur de cette constante d’interaction (1/137 par rapport à 1) permet d’appliquer des calculs de perturbation très efficaces qui expliquent la correspondance entre théorie et mesures expérimentales.
Conclusion
Le modèle atomique proposé par Niels Bohr en 1913 constitue une étape décisive dans l’histoire de la physique moderne. Après la quantification de l’énergie introduite par Planck et la quantification du rayonnement lumineux proposée par Einstein, Bohr franchit un seuil supplémentaire en appliquant les idées quantiques à la structure même de l’atome. Pour la première fois, il devient possible de relier la stabilité des atomes et la discontinuité des raies spectrales à une même description théorique.
Le succès du modèle de Bohr tient d’abord à sa capacité à résoudre deux difficultés majeures laissées ouvertes par la physique classique : d’une part, l’instabilité du modèle planétaire de Rutherford, dans lequel l’électron aurait dû rayonner continûment et s’écraser sur le noyau ; d’autre part, l’absence d’explication théorique des séries spectrales, en particulier celles de l’hydrogène. En introduisant l’idée d’orbites stationnaires et de transitions discrètes entre niveaux d’énergie, Bohr fournit une première interprétation cohérente des raies d’émission et d’absorption atomiques.
Cette réussite fut considérable. Le modèle permettait non seulement de retrouver la formule empirique de Balmer-Rydberg, mais aussi d’estimer correctement des grandeurs physiques fondamentales comme la taille de l’atome d’hydrogène ou son énergie d’ionisation. Plus largement, en étendant progressivement son raisonnement aux couches électroniques, Bohr ouvrait la voie à une première compréhension de la périodicité chimique et du tableau de Mendeleïev.
Pourtant, ce succès ne doit pas masquer le caractère encore provisoire et hybride du modèle. Le modèle de Bohr reste profondément semi-classique : il conserve l’image d’électrons en orbite autour du noyau, tout en leur imposant des règles quantiques qui contredisent l’électromagnétisme classique. Il ne s’applique rigoureusement qu’aux atomes hydrogénoïdes, n’explique pas l’origine profonde de la quantification, ni les intensités des raies spectrales, ni plusieurs effets fins observés expérimentalement. Les raffinements introduits par Sommerfeld permettront d’en prolonger la portée, mais sans lever toutes les difficultés.
C’est précisément cette tension entre succès spectaculaire et insuffisance conceptuelle qui fait l’importance historique du modèle de Bohr. Il ne constitue pas l’aboutissement de la théorie atomique, mais une étape de transition essentielle entre la physique classique et la mécanique quantique. En montrant qu’il fallait renoncer à certains principes classiques pour comprendre l’atome, Bohr a fourni le cadre intellectuel dans lequel pourront ensuite s’élaborer la mécanique matricielle de Heisenberg, la mécanique ondulatoire de Schrödinger et, plus largement, toute la physique quantique moderne.
Ainsi, même s’il a été dépassé, le modèle de Bohr demeure l’un des grands tournants de la science du 20ème siècle. Il a offert la première image théorique véritablement opérante de l’atome quantique et a montré que, dans le monde microscopique, la nature n’évolue pas de manière continue, mais par niveaux, transitions et quanta.