La mécanique ondulatoire – Le modèle standard de la physique des particules

Au début des années 1920, la physique quantique n’est encore qu’un ensemble de règles fragmentaires destinées à décrire certains phénomènes atomiques : quantification du spectre de l’hydrogène, effet photoélectrique, théorie du rayonnement du corps noir… Mais aucune théorie unifiée ne permet encore d’en comprendre les fondements. C’est dans ce contexte d’effervescence intellectuelle que deux approches radicalement différentes émergent presque simultanément pour donner une assise mathématique au monde quantique.

La première, initiée par Louis de Broglie puis formalisée par Erwin Schrödinger, est la mécanique ondulatoire. Elle propose une image continue de la physique microscopique : aux particules sont associées des ondes, gouvernées par une équation différentielle qui ressemble à celles de la physique classique. Cette approche valorise la description interne des systèmes quantiques, leurs états, leurs évolutions, et la structure des fonctions d’onde qui semblent donner accès à une réalité sous-jacente.

À l’opposé, Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan élaborent presque simultanément la mécanique matricielle, fondée non sur une image spatiale du monde microscopique, mais sur les quantités effectivement mesurées en laboratoire. Les observables y sont représentées par des matrices non commutatives, et les relations d’incertitude y apparaissent naturellement. Cette méthode, plus abstraite, refuse toute interprétation visuelle de la trajectoire des particules et se concentre sur le caractère discret et statistique des résultats expérimentaux.

Ces deux cadres théoriques, tout en permettant de retrouver les mêmes prédictions, semblaient philosophiquement incompatibles. Ils cristallisèrent l’opposition entre deux visions profondes du monde quantique : d’un côté Einstein, attaché à une description réaliste où la dualité onde-corpuscule devait être comprise comme un guide vers une réalité cachée ; de l’autre Niels Bohr, pour qui seules les procédures de mesure et leurs résultats possèdent un sens physique. Cette tension éclate au Congrès Solvay de 1927, où De Broglie et Schrödinger exposent la mécanique ondulatoire tandis que Born et Heisenberg défendent la mécanique matricielle. Ce congrès devient rapidement mythique : il marque l’apogée des débats fondateurs, mais aussi la dernière présidence d’Hendrik Lorentz, figure tutélaire des premières théories quantiques.

La question qui se pose alors est celle de la cohérence : comment deux théories si différentes, l’une continue et l’autre discrète, l’une spatialisée et l’autre purement algébrique, peuvent-elles décrire les mêmes phénomènes ? La réponse viendra d’un jeune physicien britannique, Paul Dirac, qui entre 1925 et 1930 démontre que les deux approches ne sont pas concurrentes mais constituent deux représentations d’une même structure mathématique linéaire. En s’appuyant sur les travaux du mathématicien David Hilbert, Dirac construit un formalisme abstrait capable d’englober et de réconcilier les deux visions. Ce formalisme, celui des espaces de Hilbert, des opérateurs hermitiens et du calcul bra-ket, deviendra la langue commune de toute la mécanique quantique.

Le présent article s’attache à présenter le premier volet, la mécanique ondulatoire. Celle-ci naît dans un contexte de remise en cause radicale des fondements de la physique classique. Au cours des années 1920, plusieurs phénomènes expérimentaux, tels que l’effet photoélectrique, la quantification des niveaux d’énergie dans les atomes, ou les spectres d’émission discontinus, ont mis en échec les descriptions continues de la mécanique et de l’électromagnétisme newtoniens. Pour rendre compte de ces observations, les physiciens ont dû accepter l’idée que la lumière, longtemps considérée comme une onde, pouvait se comporter comme un flux de particules, les photons, et que la matière elle-même pourrait, à l’inverse, présenter des propriétés ondulatoires.

C’est précisément l’intuition du jeune physicien français Louis de Broglie, qui en 1924 propose une hypothèse aussi simple qu’audacieuse : à toute particule de matière est associée une onde, dont la longueur d’onde est inversement proportionnelle à sa quantité de mouvement. Cette hypothèse de dualité onde-corpuscule constitue une rupture conceptuelle majeure. Elle postule une symétrie entre lumière et matière, et jette les bases d’une nouvelle description des systèmes quantiques.

Deux ans plus tard, cette intuition est formalisée mathématiquement par Erwin Schrödinger, qui propose une équation différentielle gouvernant l’évolution d’une fonction d’onde associée à une particule. Cette équation, devenue aujourd’hui emblématique de la mécanique quantique, permet de retrouver les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sans recours aux hypothèses semi-classiques du modèle de Bohr. Avec elle, la description du monde quantique ne repose plus sur des orbites, mais sur des fonctions d’onde évoluant dans l’espace et dans le temps.

Mais la fonction d’onde introduite par Schrödinger soulève une question centrale : que représente-t-elle physiquement ? Très vite, Born propose une réponse qui fera date : la fonction d’onde ne décrit pas une onde matérielle réelle, mais encode les probabilités de trouver une particule dans une région donnée de l’espace. Cette interprétation est d’abord heuristique, c’est à dire qu’elle a été proposée comme une idée plausible, guidant la compréhension et les calculs, avant d’être pleinement justifiée ou acceptée théoriquement. Elle deviendra par la suite le fondement statistique de la mécanique quantique.

Ce nouveau cadre théorique reçoit une confirmation expérimentale spectaculaire avec les expériences de diffraction d’électrons, puis avec la célèbre expérience des fentes de Young adaptée aux électrons, où des particules manifestent un comportement d’interférence typiquement ondulatoire, même lorsqu’elles sont envoyées une par une. Ces résultats confirment l’intuition de De Broglie : les particules de matière possèdent bel et bien une nature ondulatoire.

Ce chapitre retrace la naissance et le développement de la mécanique ondulatoire à travers six étapes clés :

La dualité onde-corpuscule proposée par De Broglie,
L’équation de Schrödinger, formulation mathématique centrale,
L’interprétation probabiliste de la fonction d’onde selon Born,
L’application à l’atome d’hydrogène, qui valide la puissance du formalisme,
L’expérience de diffraction d’électrons, qui établit la réalité physique des ondes de matière,
L’expérience des fentes de Young appliquée aux particules de matière, qui révèle la profondeur de la dualité quantique, jusque dans les situations individuelles.

En explorant ces différentes facettes, on verra comment la mécanique ondulatoire a bouleversé notre compréhension des objets matériels, en les dotant d’une réalité probabiliste, ondulatoire et non intuitive, qui échappe aux représentations classiques.

La dualité onde / corpuscule (Louis De Broglie – 1924)

En 1923, Louis de Broglie formule l’hypothèse révolutionnaire selon laquelle toute particule matérielle, comme un électron, possède une nature ondulatoire. Cette idée s’appuie sur une analogie profonde entre la dynamique du point matériel et l’optique géométrique, déjà explorée par Hamilton au 19^ème siècle : de la même façon qu’un rayon lumineux suit une trajectoire déterminée dans l’optique géométrique, une particule suit une trajectoire en mécanique classique. Or, les développements de l’époque montrent que la lumière, traditionnellement considérée comme une onde, possède également un comportement corpusculaire : l’effet Compton (qui venait d’être mis en évidence en cette année 1923) en est la preuve, en montrant que les photons possèdent une quantité de mouvement bien définie. De Broglie renverse donc cette logique : si la lumière qui est une onde, peut se comporter comme une particule, alors les particules comme l’électron peuvent, en retour, se comporter comme des ondes.

De Broglie a cherché à intégrer la relativité restreinte dans l’élaboration de sa mécanique ondulatoire. Son but était d’unifier la physique des quanta naissante avec la relativité restreinte proposée par Einstein en 1905. On avait d’un côté la relation proposée par Planck, Einstein et Bohr qui relie l’énergie d’un quanta à une fréquence : \(E = h\nu\), et d’un autre côté la relation proposée par Einstein qui relie la masse d’une particule à son énergie au repos : \(E = mc^{2}\). De Broglie voulait réconcilier ces deux visions en donnant une formulation ondulatoire aux particules matérielles, compatible avec la relativité restreinte.

Il suggère ainsi dans sa thèse^[1] que toute particule massique, comme l’électron, est transportée par une onde dans laquelle elle intégrée. De Broglie proposera alors qu’à chaque élément de matière de masse m, on pouvait lier une onde se propageant dans l’espace avec une fréquence \(\nu\ \)à travers la relation :

\[mc^{2} = h\nu\]

Cette relation confère une fréquence propre à chaque particule. Il insistera bien dans sa thèse sur le fait que cette égalité n’était qu’une hypothèse, et qu’elle n’aurait in fine de la valeur que si les conséquences théoriques qu’on pouvait en tirer étaient représentatifs de phénomènes réels. De ses travaux il déduira une relation entre la longueur d’onde \(\lambda\) et la vitesse de déplacement \(v\ \)d’une particule de masse m :

\[\mathbf{\lambda =}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{mv}}\sqrt{\mathbf{1 – \ }\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{c}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{\ ou\ \lambda =}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{mv}}\left( \mathbf{en\ version\ non\ relativiste} \right)\]

Même si la prise en compte de la relativité restreinte est à la base de la théorie de De Broglie, on peut en général se limiter à la version non relativiste de son postulat. Celle-ci permet en effet d’expliquer la majorité des sujets étudiés dans le cadre de la mécanique ondulatoire. En particulier son application au modèle atomique de Bohr ne nécessite pas la prise en compte de la relativité restreinte. De Broglie étudiera dans sa thèse de doctorat différentes applications de cette hypothèse, comme le modèle de l’atome, le lien entre l’optique géométrique et la mécanique classique ou la prédiction de phénomènes de diffraction des électrons par des réseaux cristallins.

Pour l’étude du modèle atomique, le postulat de De Broglie dans sa version classique permet de justifier naturellement la quantification des orbites atomiques, notion introduite de façon empirique par Bohr en 1913. Pour mémoire, dans son modèle atomique Bohr fait l’hypothèse que les électrons tournent autour du noyau atomique sur des orbites circulaires stables et que seules les orbites vérifiant la quantification du moment cinétique étaient permises. Mais Bohr ne proposait pas d’explication à cette condition de quantification. Or si on se réfère à la théorie de De Broglie, cet électron est également une onde ayant une longueur d’onde dont la valeur est reliée à la vitesse, et donc au moment cinétique, au travers de la relation de De Broglie. Or pour que cette onde reste cohérente, c’est-à-dire qu’elle n’ait pas d’interférence destructive avec elle-même, il faut que la longueur de l’orbite circulaire soit un multiple de la longueur d’onde. Cette condition de stabilité de l’onde stationnaire se traduit en langage mathématique par :

\[2\pi r = n\lambda\ avec\ \lambda\ la\ longueur{\ d}’onde\ de{\ l}’électron\]

En combinant le postulat de De Broglie et cette condition de stabilité, on trouve alors directement la quantification du moment cinétique proposée par Bohr :

\[L = mvr = (mv) \times r = \frac{h}{\lambda} \times \frac{n\lambda}{2\pi} = n\frac{h}{2\pi}\]

La quantification n’apparaît plus comme une hypothèse empirique, comme c’était le cas jusqu’à présent dans le modèle de Bohr, mais comme une conséquence directe de la nature ondulatoire de l’électron introduite par De Broglie. L’électron est une onde de matière qui forme une onde stationnaire autour du noyau atomique. Les niveaux d’énergie correspondent aux différents nombres d’ondes entières qui peuvent tenir sur une orbite. Plus le nombre quantique n est élevé et plus l’onde stationnaire a de nœuds et plus son d’énergie est importante. Pour clarifier les choses on va illustrer ce point par une figure.

En formulant son hypothèse de l’onde associée à toute particule, Louis de Broglie prédit par ailleurs en 1924 que des électrons devraient, comme la lumière, présenter des phénomènes d’interférence et de diffraction s’ils sont confrontés à une structure périodique, comme un cristal. Il calcula que la longueur d’onde associée à un électron d’énergie 1 eV était de 12.2 Å, soit les dimensions d’un atome ou d’une maille cristalline, ou la longueur d’onde des rayons X. D’où l’idée d’effectuer avec des électrons des expériences de diffraction sur des cristaux, analogues à celles que Max von Laue avait réalisées en 1912 avec des rayons X (cf. article sur la confirmation de l’existence des atomes). Il propose donc qu’une expérience de diffraction des électrons pourrait démontrer la nature ondulatoire de la matière. Cette idée, encore purement théorique à l’époque, ouvre la voie à une vérification expérimentale de son postulat. Elle sera confirmée quelques années plus tard, en 1927, par l’expérience de Davisson et Germer, qui observent effectivement une figure de diffraction en faisant interagir un faisceau d’électrons avec un cristal de nickel (cf. chapitre ci-dessous).

Même si sa théorie se révélera plus tard très imparfaite, elle permettra d’illustrer le fait qu’on pouvait expliquer divers phénomènes expérimentaux avec ce concept de dualité onde corpuscule. Paul Langevin qui avait pris connaissance de la thèse de De Broglie enverra un exemplaire de cette thèse à Einstein, qui en retour lui répondit qu’il considérait que De Broglie avait « levé un grand coin du voile ».

De Broglie est l’instigateur de la dualité onde corpuscule appliquée à l’ensemble des particules. Ses travaux inciteront d’autres physiciens à rechercher une description ondulatoire de la matière. Pour autant, De Broglie n’adhérera pas par la suite à l’interprétation probabiliste de la mécanique quantique introduite par Max Born en 1926 et restera attaché à son idée qu’une particule est bien localisée et guidée par une onde quantique. Il ne renoncera jamais au déterminisme et se trouvera ainsi progressivement en marge des avancées ultérieures de la mécanique quantique.

Il proposera en 1927, une théorie de l’onde pilote, dans laquelle chaque particule conserve une position bien définie, cette particule étant guidée par une onde associée. De Broglie présentera cette théorie au fameux congrès Solvay de 1927, mais elle sera majoritairement rejetée au profit de l’interprétation probabiliste, notamment par Bohr, Born et Heisenberg. En dehors de cette impulsion initiale, décisive pour le développement de la mécanique quantique, De Broglie n’apportera plus vraiment de contribution importante.

L’équation de Schrödinger (Erwin Schrödinger – 1926)

Conforté par l’intérêt manifesté par Einstein pour la thèse de Louis de Broglie, le physicien autrichien Erwin Schrödinger s’engage, à partir de 1925, dans une tentative ambitieuse : approfondir le concept de dualité onde / corpuscule pour décrire les particules de matière. Il reprend l’idée centrale de De Broglie selon laquelle à toute particule massive peut être associée une onde, et fait l’hypothèse que cette onde peut être décrite par une fonction d’onde notée Ψ, représentant l’état du système.

Schrödinger se donne alors pour objectif de trouver l’équation différentielle capable de gouverner l’évolution spatio-temporelle de cette onde de matière. Il s’inspire pour cela des équations d’ondes connues, notamment en acoustique ou en électromagnétisme, toutes deux décrites par des équations différentielles du second ordre. Il cherche donc une équation similaire, mais adaptée à une particule quantique.

Avant de formuler son équation dans le cadre non relativiste, Schrödinger tente d’abord une approche relativiste, en partant de la fameuse relation d’Einstein :

\[E^{2} = \ m^{2}c^{4} + p^{2}c^{2}\]

En appliquant les règles de quantification de la mécanique ondulatoire (remplaçant l’énergie E par iℏ ∂/∂t et l’impulsion p par −iℏ ∇), il obtient une équation qui sera plus tard appelée équation de Klein-Gordon. Cette équation est covariante (c’est-à-dire compatible avec les transformations de la relativité restreinte), ce qui en fait une candidate naturelle pour décrire une particule quantique relativiste. Mais elle se heurte à plusieurs obstacles majeurs :

Elle ne reproduit pas correctement les niveaux d’énergie observés de l’atome d’hydrogène ;
Elle admet des solutions avec des énergies négatives, difficiles à interpréter dans un cadre probabiliste ;
Elle rend difficile l’interprétation physique de la fonction d’onde.

Face à ces difficultés, Schrödinger décide de revenir à une approche non relativiste, plus adaptée à la description des particules lentes comme l’électron dans un atome.

C’est dans ce contexte que Schrödinger propose en 1926^[2] une équation différentielle pour décrire une particule massive, de vitesse non relativiste, évoluant dans un potentiel V(r⃗). Cette équation, fondatrice de la mécanique quantique, s’écrit :

\[\mathbf{iħ\ }\frac{\mathbf{\partial\Psi}\left( \mathbf{t,}\overrightarrow{\mathbf{r}} \right)}{\mathbf{\partial t}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{ħ}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2m}}\mathbf{\mathrm{\Delta}\ \Psi}\left( \mathbf{t,}\overrightarrow{\mathbf{r}} \right)\mathbf{+ V}\left( \overrightarrow{\mathbf{r}} \right)\mathbf{\ \Psi}\left( \mathbf{t,}\overrightarrow{\mathbf{r}} \right)\]

Elle exprime que l’énergie totale d’une particule quantique est la somme de son énergie cinétique (terme en ∇²) et de son énergie potentielle V. Cette équation n’est pas démontrée au sens strict, mais elle est postulée en s’appuyant sur des analogies classiques et surtout sur sa capacité à rendre compte des observations expérimentales, notamment les spectres atomiques.

L’équation de Schrödinger est linéaire et déterministe : si l’on connaît la fonction d’onde à un instant donné, on peut en principe la calculer à tout instant futur. Elle joue ainsi un rôle équivalent à celui de la loi du mouvement en mécanique classique newtonienne. C’est bien ce que recherchait Schrödinger : une description déterministe de l’évolution d’un système quantique. Cependant, la mécanique quantique ne l’est pas entièrement, non à cause de cette équation, mais à cause de l’interprétation qu’on donne à la fonction d’onde. Ce point sera traité dans le chapitre suivant sur l’interprétation probabiliste de Ψ.

Un aspect surprenant au premier abord réside dans le fait que l’équation de Schrödinger est une équation continue, mais que ses solutions peuvent être discrètes. Comment comprendre que des niveaux d’énergie quantifiés (comme dans l’atome d’hydrogène) émergent d’une fonction d’onde fluide et continue ?

La réponse se trouve dans les conditions aux limites imposées à cette fonction. Ce phénomène est bien connu en physique classique : une corde vibrante fixée à ses extrémités ne peut vibrer qu’à certaines fréquences propres (les harmoniques). De la même manière, dans le cas de l’électron autour du noyau, la fonction d’onde doit s’annuler à l’infini (l’électron ne peut pas s’échapper à l’infini) et ne peut pas diverger au voisinage du noyau. Ces contraintes mathématiques suffisent à quantifier les solutions.

Enfin, une propriété essentielle de cette équation est sa linéarité, qui entraîne la possibilité d’additionner plusieurs solutions : c’est le principe de superposition. Deux fonctions d’onde solutions de l’équation de Schrödinger, peuvent se combiner linéairement et cette nouvelle fonction d’onde est également une solution de l’équation. Cela permet d’interpréter les états quantiques comme des superpositions d’états plus simples, appelés états propres. L’ensemble de ces états forme un espace vectoriel complexe, une structure mathématique centrale dans le formalisme algébrique de la mécanique quantique. Ce sera la base de la réconciliation ultérieure de la mécanique ondulatoire de Schrödinger avec la mécanique matricielle d’Heisenberg, réalisée notamment par Paul Dirac.

Parenthèse mathématique – L’équation de Schrödinger

L’interprétation probabiliste de la fonction d’onde (Max Born – 1926)

Malgré l’importance de ces travaux, Schrödinger comme De Broglie, auront dans un premier temps, une interprétation erronée de cette fonction d’onde. Schrödinger disait ainsi que « l’atome est simplement la diffraction d’une onde électronique capturée par le noyau de l’atome », ce qui permettait d’expliquer pourquoi la longueur d’onde de l’électron proposée par De Broglie était comparable à la taille d’un atome. Autrement dit, dans cette interprétation initiale, l’électron est l’onde, et l’atome est la structure spatiale stationnaire résultant de cette onde liée au noyau. Schrödinger voyait ainsi dans la fonction d’onde un étalement spatial de l’électron, ce qui revenait à dire que l’électron n’était plus une particule.

C’est le physicien allemand Max Born qui en 1926^[3] donnera l’interprétation aujourd’hui admise de la fonction d’onde complexe \(\Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right)\ \)introduite par De Broglie et prise en compte par Schrödinger dans son équation. En utilisant l’équation de Schrödinger, Born arrivera à modéliser le phénomène de diffusion des électrons par des atomes. Il se rendra compte que le carré du module de la fonction d’onde était proportionnel à l’intensité mesurée, et il arrivera à faire des statistiques sur le nombre d’électrons détectés. L’interprétation physique qu’il donnera de cette fonction d’onde est que la probabilité \(dP\left( \overrightarrow{r} \right)\ \)de trouver la particule dans un voisinage \(d^{3}r\) du point \(r\) est donnée par la formule :

\[dP\left( \overrightarrow{r} \right) = \ \left| \Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right) \right|^{2}\ d^{3}r\]

A noter que cette notion de probabilité de présence impose une condition de normalisation de la fonction d’onde. En effet la probabilité de trouver l’électron en un point quelconque de l’espace est égale à un (par définition de la notion de probabilité). Ce qu’on traduit mathématiquement par :

\[\int_{- \infty}^{+ \infty}{\left| \Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right) \right|^{2}d^{3}r = 1}\]

La fonction d’onde est donc devenue une description mathématique, de nature probabiliste, de la position d’une particule dans l’espace. Si on considère N particules indépendantes, décrites par la même fonction d’onde, le résultat d’une mesure de leur position ne sera pas le même pour l’ensemble des particules. Les résultats de mesure se distribuent ainsi avec la loi de probabilité \(\left| \Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right) \right|^{2}\). Cette distribution statistique de l’ensemble des résultats est caractérisée par une valeur moyenne de la position \(\left\langle x \right\rangle\ \)qui est donnée par :

\[\left\langle x \right\rangle = \ \int_{}^{}{x\ \left| \Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right) \right|^{2}d^{3}r\ }\]

En revanche Born ne dira rien dans son article sur la répartition spatiale de l’électron avant sa détection. Vous imaginez bien que cette description probabiliste reçue un accueil mitigé de la part de la communauté scientifique. C’était la fin du déterminisme de la physique qui reposait sur le principe de causalité. Schrödinger en vint même à dire que s’il avait imaginé les conséquences de son équation il ne l’aurait sans doute pas publiée ! Mais le plus hostile à cette idée de probabilité était Einstein. Dans une très célèbre lettre adressée à Born en décembre 1926, il écrivait : « La mécanique quantique est très impressionnante. Mais une voix intérieure me dit que ce n’est pas encore la vraie réponse. La théorie nous apporte beaucoup mais ne nous rapproche guère des secrets du Vieux. Je suis entièrement convaincu qu’il ne joue pas aux dés ». Cette idée de Born fut toutefois renforcée à l’occasion des travaux d’Heisenberg sur la mécanique matricielle, et la découverte en 1927 de son principe d’indétermination, appelée de façon impropre le principe d’incertitude d’Heisenberg.

Pour bien illustrer le fait que la nature probabiliste de la fonction d’onde mit du temps à être admise, on va citer un commentaire de Born à une des lettres d’Einstein en 1954 (issu des « Lettres entre Born et Einstein »). Pour bien comprendre son propos, il faut évoquer un peu son histoire personnelle. Born a été professeur de physique à l’université de Göttingen à partir de 1921. A l’image de Cambridge en Angleterre, Göttingen a été le lieu où s’est développée la physique quantique en Allemagne dans les années 1920.

Born est un des grands noms de la physique quantique, notamment parce qu’il a contribué à la fois à la mécanique ondulatoire de De Broglie et Schrödinger, en proposant cette interprétation probabiliste de la fonction d’onde, et à la mécanique matricielle d’Heisenberg, sur laquelle on revient dans l’article suivant. Born était juif et avait fui l’Allemagne en 1933 pour le Royaume-Uni, d’abord à Cambridge puis à Edimbourg où il deviendra professeur. Born retournera s’installer à Göttingen en 1953, juste avant de recevoir en 1954 son prix Nobel pour ses travaux sur l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde. On peut maintenant citer son propos : « Le fait que je n’avais pas reçu le prix Nobel de physique en 1932 avec Heisenberg m’avait à ce moment-là beaucoup touché, malgré la lettre très gentille d’Heisenberg. Je m’y suis fait, parce que j’avais conscience de la supériorité d’Heisenberg. A l’époque où nous étions retournés en Allemagne, cette blessure était depuis longtemps refermée. Ma surprise et ma joie furent d’autant plus grande quand je reçu le prix, non pour le travail en commun avec Heisenberg et Jordan, mais pour l’interprétation statistique de la fonction d’onde de Schrödinger, que j’avais imaginé et formalisé entièrement par moi-même. Ce n’est pas une surprise que cette reconnaissance intervint après 28 ans, dans la mesure où tous les grands noms de cette première période de la théorie quantique étaient opposés à cette interprétation statistique : Planck, De Broglie, Schrödinger, et pas des moindre Einstein lui-même ». Vous pouvez constater qu’il n’en tenait pas rigueur à Heisenberg, alors que celui-ci avait travaillé sur le sujet des réactions nucléaires au profit des nazis, sans pour autant, il est vrai, appartenir au parti nazi.

L’équation de Schrödinger appliquée à l’atome d’hydrogène

On va maintenant voir comment cette description d’un système par une fonction d’onde a été appliquée à l’atome d’hydrogène pour expliquer la quantification des niveaux d’énergie et par voie de conséquence les raies spectrales d’émission et d’absorption observées à l’échelle macroscopique. Cela nécessite de se plonger dans l’équation de Schrödinger, ce qui n’est pas très simple et fait donc l’objet d’une parenthèse mathématique. Je vous invite à la lire parce qu’elle permet d’appréhender la notion d’orbitales atomiques qui remplace les orbites du modèle de Bohr-Sommerfeld.

Dans le modèle de Schrödinger, l’atome d’hydrogène n’a pas une forme définie. L’électron a une probabilité de présence au sein d’une orbitale atomique. La représentation de ces orbitales permet simplement de visualiser la région de l’espace dans laquelle la probabilité de présence de l’électron est la plus élevée en fonction de son niveau d’énergie. L’électron n’a plus non plus de trajectoire autour du noyau atomique. Pour définir une trajectoire, il faudrait pouvoir définir dans le même temps la position et la vitesse de l’électron autour du noyau. Or, en vertu du principe d’indétermination d’Heisenberg on ne peut pas mesurer simultanément la position et la vitesse de l’électron. Tous les concepts de base de la physique classique (forme ; trajectoire associée à un mouvement) ne sont donc plus applicables en physique quantique. Il faut avoir recours à d’autres concepts, dont la probabilité de présence en un point de l’espace, et le fait que la mesure d’une caractéristique de l’électron au sein de l’atome (son énergie, sa position ou sa vitesse) modifie son état quantique. On reviendra plus loin sur ces concepts, et les difficultés d’interprétation qu’ils ont occasionnées.

Parenthèse mathématique – L’atome d’hydrogène

Les résultats obtenus avec l’équation de Schrödinger sont cohérents avec ceux obtenus avec le modèle de Bohr-Sommerfeld. Quand on prend la première orbitale à symétrie sphérique (celle de plus basse énergie, notée 1s), on trouve que la distance la plus probable, c’est-à-dire celle pour laquelle \(\left| \Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right) \right|^{2}\) est maximum, correspond au rayon de l’orbite atomique proposée par Bohr. En revanche, on l’a déjà évoqué, ce n’est qu’une probabilité de présence, l’électron peut également se trouver ailleurs, contrairement au modèle de Bohr. De la même façon pour les orbitales sphériques suivantes (2s, 3s), pour lesquelles les maximums de probabilité de présence correspondent aux différents rayons des orbites du modèle de Bohr-Sommerfeld.

Une orbitale atomique est définie comme la région de l’atome où l’électron a une probabilité de présence supérieure à 90%. Les orbitales de l’atome d’hydrogène (s, p, d, f) ont des formes bien connues de tout étudiant en chimie (au moins pour les premières), qu’on peut rappeler ci-dessous.

L’équation de Schrödinger a vraiment démontré toute sa pertinence dans cette étude de l’atome d’hydrogène. Le modèle rend compte de toutes les caractéristiques des raies spectrales de l’hydrogène, à l’exception de l’effet Zeeman anormal qui dépend du spin (cf. article dédié). Cette équation est utilisée encore aujourd’hui pour décrire des systèmes simples, non relativistes, dans un champ de potentiel stationnaire, à l’image de cet exemple de l’atome d’hydrogène.

Diffraction des électrons (George Davisson, Lester Germer – 1927)

La première preuve expérimentale du caractère ondulatoire des électrons, proposé par De Broglie et Schrödinger a été apportée en 1927^[4] par les ingénieurs / physiciens Clinton Davison et Lester Germer à l’occasion d’une expérience de diffraction des électrons par un cristal. En tant qu’ingénieur, Davisson étudiait depuis 1921 les émissions secondaires dans les tubes électroniques afin d’en améliorer les performances. Il sera rejoint en 1924 par Germer, avec qui ils étudieront la diffraction des électrons par un cristal de Nickel.

Leur expérience consiste à envoyer un faisceau d’électrons monocinétiques, obtenu par extraction d’un filament de tungstène chauffé, sur un morceau de nickel, et d’observer la déviation des électrons grâce à un compteur de particules chargées. Le faisceau d’électrons est envoyé perpendiculairement à la surface du cristal, et l’expérience consistait à faire varier l’angle du détecteur par rapport au faisceau incident, et de mesurer l’intensité obtenue en fonction de l’angle.

L’expérience était conduite dans une chambre à vide pour que les électrons incidents n’interagissent pas avec d’autres atomes avant de rencontrer la surface du nickel. Pendant une de leurs expériences, de l’air est accidentellement rentrée dans la chambre à vide conduisant à l’oxydation de la surface du nickel. Pour enlever cette couche d’oxyde, Davisson et Germer ont alors l’idée de chauffer le morceau de nickel à haute température. Sans le savoir, ils modifieront alors la structure cristalline du morceau de nickel.

Quand ils recommenceront leur expérience, ils se rendront compte que le faisceau incident d’électrons sera diffracté par le cristal de nickel ainsi obtenu après chauffage. Ils observeront une figure de diffraction caractéristique d’un phénomène ondulatoire, ce qu’ils eurent beaucoup de mal à comprendre, car ils n’avaient pas connaissance de la théorie de la mécanique quantique naissante. Ils continuèrent d’autres expériences du même type jusqu’à ce qu’en 1926, Davisson prenne par hasard connaissance d’une conférence de Born sur la diffraction des électrons par des cristaux, qui pourrait justifier la nature ondulatoire des électrons proposée par De Broglie.

Davisson améliorera encore son dispositif expérimental et publiera alors un article en 1927 présentant ses travaux relatifs à la diffraction des électrons par le cristal de nickel. Il étudiera les figures de diffraction en fonction de l’énergie du faisceau incident et de l’angle de mesure. Cette expérience aura été la première permettant de démontrer la nature ondulatoire des électrons proposée par De Broglie en 1924.

L’expérience des fentes de Young pour les électrons

Une des preuves les plus remarquables de la nature ondulatoire des électrons est la généralisation aux électrons de l’expérience de la double fente que Young avait imaginée en 1801 pour démontrer le caractère ondulatoire de la lumière. L’idée est de faire passer un faisceau d’électrons à travers deux fentes et de détecter les électrons sur un écran positionné en aval des fentes.

Il faudra attendre de nombreuses années avant de pouvoir réaliser cette expérimentation. La difficulté provient du fait que la taille de l’ouverture de la fente ne doit pas être trop grande par rapport à la longueur d’onde de l’électron. Lorsque ce n’est pas le cas, c’est-à-dire lorsqu’il n’y a pas de diffraction, les électrons se comportent comme des particules, et passent alors par l’une ou l’autre des fentes et on observe avec le détecteur de particules deux traces verticales correspondant aux deux fentes. La première expérience de diffraction des électrons date de 1961^[5]. Un faisceau d’électrons était envoyé sur deux fentes très fines (environ 0,5 μm) et séparée de 1 μm. Une figure d’interférence a effectivement été observée à cette occasion, prouvant ainsi la nature ondulatoire du faisceau d’électrons.

Pour démontrer qu’un électron pris individuellement est une onde, Feynman proposa alors en 1963 une expérience de pensée dans laquelle il imagina envoyer vers les deux fentes non pas un faisceau d’électrons, mais des électrons pris un à un en attendant un certain temps entre deux émissions pour qu’ils puissent être considérés comme des électrons unitaires. En mécanique quantique, lorsque l’électron traverse les deux fentes à la fois, il est dans un état superposé, et cette superposition donne lieu à une figure d’interférence. Si les électrons sont des ondes on devrait alors voir apparaître progressivement une figure d’interférence. La position où est détectée l’électron, est définie de façon probabiliste, et cette probabilité de l’impact d’un électron pris individuellement passant à travers deux fentes a la forme d’une figure interférence c’est-à-dire une onde sinusoïdale qui s’atténue progressivement quand on s’éloigne du centre.

Cette expérience avec des électrons envoyés « unitairement » sera effectivement réalisée en 1989 par une équipe de scientifiques japonais sous la direction d’Akira Tonomura^[6]. Comme prévu par Feynman dans son expérience de pensée, la figure d’interférence apparaît progressivement, prouvant de façon indiscutable que l’électron en tant que fonction d’onde passe par les deux trous à la fois, et interagit avec lui-même. Ce n’est pas du tout intuitif, mais c’est la mécanique quantique.

Chose encore plus bizarre, quand on cherche à savoir par quelle fente passe l’électron en positionnant un détecteur à la sortie de chaque fente, la figure d’interférence disparaît. Ceci s’explique par la réduction de la fonction d’onde après une mesure, un autre principe fondamental de la mécanique quantique. Le fait de chercher à savoir par où est passé l’électron conduit à lui enlever son caractère quantique.

A noter que cette expérience des doubles fentes sera reproduite avec d’autres particules quantiques encore plus complexes à manipuler que les électrons, comme par exemple avec des neutrons dès les années 1970 ou avec des molécules de fullerène (C₆₀) en 1999^[7] à l’université de Vienne. Le fullerène est une molécule dont la taille est d’environ 1nm, soit environ 10 fois plus gros qu’un atome. Cette expérience illustre que le comportement ondulatoire n’est pas limité aux photons ou aux électrons, mais peut être représentatif d’objets beaucoup plus gros, à la condition évidemment qu’ils conservent un caractère quantique.

Conclusion

La mécanique ondulatoire constitue l’une des ruptures conceptuelles les plus profondes de l’histoire de la physique. En quelques années, entre l’intuition de De Broglie et la formalisation de Schrödinger, l’idée classique de particule localisée suivant une trajectoire bien définie a été remplacée par une description en termes de fonction d’onde, de superposition et de probabilité. Ce déplacement de perspective ne correspond pas à un simple changement de langage mathématique : il modifie en profondeur la manière même de penser les objets physiques.

Le premier mérite de la mécanique ondulatoire est d’avoir donné une formulation cohérente à la dualité onde-corpuscule. L’hypothèse de De Broglie permet de comprendre pourquoi la quantification introduite par Bohr pouvait fonctionner : les états stables de l’atome ne sont plus des orbites postulées, mais des ondes stationnaires compatibles avec les conditions imposées par le système. L’équation de Schrödinger généralise cette intuition et fournit un outil d’une puissance remarquable, capable de décrire les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène, les orbitales atomiques, et plus généralement la structure des systèmes quantiques non relativistes.

Mais cette réussite a un prix conceptuel élevé. La fonction d’onde, au cœur de la théorie, n’est pas une onde matérielle au sens classique. Avec l’interprétation probabiliste de Born, elle devient un objet abstrait dont le carré du module donne une probabilité de détection. La mécanique ondulatoire ne décrit donc plus ce qu’est la particule « en soi », mais ce que l’on peut dire de ses résultats de mesure. En ce sens, elle marque une rupture avec l’idéal classique d’une description déterministe et directement représentable du réel.

Les confirmations expérimentales de cette approche ont été décisives. La diffraction des électrons par des cristaux, puis l’expérience des fentes de Young appliquée aux particules matérielles, ont montré que le comportement ondulatoire de la matière n’était pas une simple construction théorique, mais une propriété effective du monde microscopique. Plus encore, ces expériences ont révélé l’aspect profondément contre-intuitif de la physique quantique : un électron peut produire une figure d’interférence même lorsqu’il est envoyé seul, et cette figure disparaît dès que l’on cherche à savoir par quel chemin il est passé.

La mécanique ondulatoire n’épuisera pourtant pas, à elle seule, la compréhension du monde quantique. Son langage continu, fondé sur les fonctions d’onde, semble au premier abord très éloigné de la mécanique matricielle développée au même moment par Heisenberg, Born et Jordan. Or ces deux approches, si différentes en apparence, conduisent aux mêmes résultats. Cette situation appelle une unification conceptuelle plus profonde, qui sera précisément l’objet du formalisme abstrait élaboré à la fin des années 1920 par le physicien britannique Paul Dirac.

Ainsi, la mécanique ondulatoire représente à la fois un aboutissement et une transition. Elle achève la première construction mathématique cohérente de la physique quantique, tout en préparant les débats d’interprétation et la synthèse formelle qui domineront la suite. Avec elle, la matière cesse définitivement d’être pensable dans les catégories de la physique classique, et la réalité microscopique entre dans un régime nouveau, à la fois d’une extraordinaire précision expérimentale et d’une profonde étrangeté conceptuelle.

Louis de Broglie, « Recherches sur la théorie des quanta », thèse de 1924 ↑
Erwin Schrödinger, “An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules”, 1926 ↑
Max Born, „Zur Quantenmechanik der Stoß Vorgänge“, 1926 ↑
Clinton Davisson and Lester Germer, “Reflection of electrons by a crystal of Nickel”, The physical review, 30, 1927 ↑
C. Jönsson, “Elektroneninterferenzen an mehreren künstlich hergestellten Feinspalten”, Zeitschrift für Physik, 161, 1961 ↑
Akira Tonoruma, “Demonstration of a single-electron buildup of an interference pattern”, American Journal of Physics, 1989 ↑
Markus Arndt et al., “Wave-particle duality of C₆₀ molecules”, Nature, 401, 1999 ↑