Le modèle atomique proposé par Niels Bohr en 1913 constitue une tentative remarquable pour résoudre les contradictions laissées ouvertes par le modèle planétaire de Ernest Rutherford.
Dans le modèle de Rutherford, l’atome est constitué d’un noyau positif autour duquel gravitent des électrons, à la manière des planètes autour du Soleil. Mais cette représentation pose immédiatement un problème fondamental. D’après l’électromagnétisme classique, une charge électrique accélérée doit émettre un rayonnement électromagnétique. Or un électron en mouvement circulaire est continuellement accéléré : il devrait donc perdre de l’énergie et spiraler rapidement vers le noyau. L’atome devrait alors s’effondrer en un temps extrêmement court, ce qui est évidemment incompatible avec la stabilité de la matière.
Un deuxième problème apparaît lorsqu’on observe expérimentalement la lumière émise par les atomes. Le spectre de l’hydrogène n’est pas continu : il est constitué d’un ensemble discret de raies lumineuses dont les longueurs d’onde suivent des lois empiriques, notamment la formule de Balmer. La physique classique ne permettait pas d’expliquer cette discrétisation.
Pour résoudre ces difficultés, Bohr introduit des postulats radicalement nouveaux inspirés des idées de quantification proposées quelques années plus tôt par Max Planck et Albert Einstein.
Quantification du moment cinétique
Bohr postule que toutes les orbites électroniques ne sont pas possibles. Seules certaines orbites particulières, dites stationnaires, sont autorisées. Sur ces orbites, l’électron ne rayonne pas.
Son hypothèse fondamentale est que le moment cinétique orbital de l’électron est quantifié :
\[\mathbf{L =}\mathbf{m}_{\mathbf{e}}\mathbf{vr = n}\mathbf{\hbar}\]
Où :
- \(m_{e}\ \)est la masse de l’électron ;
- \(v\ \)sa vitesse ;
- \(r\ \)le rayon de l’orbite ;
- \(n\ \)un entier positif ;
- \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\ \)la constante de Planck réduite.
Cette relation impose immédiatement une discrétisation des orbites possibles.
Équilibre des forces
Considérons maintenant un électron décrivant une orbite circulaire autour du noyau d’un atome d’hydrogène.
L’électron est soumis à la force d’attraction électrostatique exercée par le proton :
\[F_{Coulomb} = \frac{kq_{e}^{2}}{r^{2}}\]
Où :
- \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\) est la constante de Coulomb ;
- \(q_{e}\ \)est la charge élémentaire.
Cette force joue le rôle de force centripète nécessaire au mouvement circulaire :
\[F_{centrip\overset{ˋ}{e}te} = \frac{m_{e}v^{2}}{r}\]
L’équilibre dynamique de l’électron impose donc :
\[\frac{kq_{e}^{2}}{r^{2}} = \frac{m_{e}v^{2}}{r}\]
On simplifie par \(r\ \):
\[v^{2} = \frac{kq_{e}^{2}}{m_{e}r}\]
Et donc :
\[v = \sqrt{\frac{kq_{e}^{2}}{m_{e}r}}\]
La vitesse de l’électron dépend du rayon de l’orbite.
Quantification des rayons orbitaux
Introduisons maintenant la condition de quantification du moment cinétique :
\[m_{e}vr = n\hbar\]
On remplace \(v\ \)par son expression précédente :
\[m_{e}r\sqrt{\frac{kq_{e}^{2}}{m_{e}r}} = n\hbar \]
On simplifie :
\[\sqrt{m_{e}kq_{e}^{2}r} = n\hbar \]
En élevant au carré :
\[m_{e}kq_{e}^{2}r = n^{2}\hbar^{2} \]
On obtient alors les rayons autorisés :
\[r_{n} = \frac{n^{2}\hbar^{2}}{m_{e}kq_{e}^{2}}\]
Les rayons possibles sont donc quantifiés et proportionnels à \(n^{2}\).
Pour \(n = 1\), on obtient le rayon minimal autorisé :
\[\mathbf{a}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\hbar}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{m}_{\mathbf{e}}\mathbf{k}\mathbf{q}_{\mathbf{e}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\approx 5.29 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 11}}\mathbf{\ m}\]
appelé rayon de Bohr.
Toutes les autres orbites ont un rayon :
\[r_{n} = n^{2}a_{0}\]
Quantification de l’énergie
L’énergie totale de l’électron est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle électrostatique.
On écrit :
\[E = \frac{1}{2}m_{e}v^{2} – \frac{kq_{e}^{2}}{r}\]
Mais nous avons déjà obtenu :
\[m_{e}v^{2} = \frac{kq_{e}^{2}}{r}\]
Donc :
\[E = \frac{1}{2}\frac{kq_{e}^{2}}{r} – \frac{kq_{e}^{2}}{r} \]
Et finalement :
\[E = – \frac{1}{2}\frac{kq_{e}^{2}}{r}\]
L’énergie totale est négative : l’électron est lié au noyau.
En remplaçant \(r\ \)par \(r_{n}\), on obtient :
\[E_{n} = – \frac{1}{2}\frac{kq_{e}^{2}}{r_{n}} \]
Puis :
\[E_{n} = – \frac{m_{e}k^{2}q_{e}^{4}}{2\hbar^{2}}\frac{1}{n^{2}}\]
On définit alors l’énergie fondamentale :
\[E_{1} = – \frac{m_{e}k^{2}q_{e}^{4}}{2\hbar^{2}} \approx – 13.6\ eV\]
Et les niveaux d’énergie deviennent :
\[E_{n} = \frac{E_{1}}{n^{2}}\]
Les niveaux d’énergie sont donc eux aussi quantifiés.
Transitions électroniques et spectre de l’hydrogène
Considérons maintenant un électron passant d’un niveau \(k\)vers un niveau plus bas \(n\).
L’énergie émise vaut :
\[\Delta E = E_{n} – E_{k}\]
D’où :
\[\Delta E = E_{1}\left( \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{k^{2}} \right)\]
Bohr fait alors son troisième postulat : cette différence d’énergie est émise sous forme d’un photon :
\[\mathbf{h\nu =}\mathbf{\Delta}\mathbf{E}\]
Comme :
\[\nu = \frac{c}{\lambda} \]
On retrouve immédiatement la formule de Balmer-Rydberg décrivant les raies spectrales de l’hydrogène.
Le modèle explique ainsi naturellement pourquoi le spectre atomique est discret : seules certaines transitions entre niveaux d’énergie quantifiés sont possibles.
Le modèle de Bohr constitue l’une des premières applications spectaculaires de la quantification à la matière. À partir de quelques hypothèses simples, il permet d’expliquer la stabilité de l’atome ; de retrouver les dimensions atomiques ; de calculer les niveaux d’énergie de l’hydrogène ; d’interpréter les raies spectrales observées expérimentalement.
Cependant, ce modèle reste encore hybride. Il conserve des concepts classiques (orbites circulaires et trajectoires déterminées) auxquels il superpose des règles quantiques introduites de manière ad hoc. Il ne permet notamment pas de décrire correctement les atomes comportant plusieurs électrons, ni certains détails fins des spectres.
Malgré ces limites, le modèle de Bohr marque une étape décisive dans l’histoire de la physique. Il ouvre la voie à une reformulation beaucoup plus profonde de la mécanique, qui conduira quelques années plus tard à la mécanique quantique moderne, dans laquelle les notions mêmes de trajectoire et d’orbite seront profondément remises en question.