Au début des années 1920, la physique quantique n’est encore qu’un ensemble de règles fragmentaires destinées à décrire certains phénomènes atomiques : quantification du spectre de l’hydrogène, effet photoélectrique, théorie du rayonnement du corps noir… Mais aucune théorie unifiée ne permet encore d’en comprendre les fondements. C’est dans ce contexte d’effervescence intellectuelle que deux approches radicalement différentes émergent presque simultanément pour donner une assise mathématique au monde quantique.
La première, initiée par Louis de Broglie puis formalisée par Erwin Schrödinger, est la mécanique ondulatoire. Elle propose une image continue de la physique microscopique : aux particules sont associées des ondes, gouvernées par une équation différentielle qui ressemble à celles de la physique classique. Cette approche valorise la description interne des systèmes quantiques, leurs états, leurs évolutions, et la structure des fonctions d’onde qui semblent donner accès à une réalité sous-jacente.
À l’opposé, Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan élaborent presque simultanément la mécanique matricielle, fondée non sur une image spatiale du monde microscopique, mais sur les quantités effectivement mesurées en laboratoire. Les observables y sont représentées par des matrices non commutatives, et les relations d’incertitude y apparaissent naturellement. Cette méthode, plus abstraite, refuse toute interprétation visuelle de la trajectoire des particules et se concentre sur le caractère discret et statistique des résultats expérimentaux.
Ces deux cadres théoriques, tout en permettant de retrouver les mêmes prédictions, semblaient philosophiquement incompatibles. Ils cristallisèrent l’opposition entre deux visions profondes du monde quantique : d’un côté Einstein, attaché à une description réaliste où la dualité onde-corpuscule devait être comprise comme un guide vers une réalité cachée ; de l’autre Niels Bohr, pour qui seules les procédures de mesure et leurs résultats possèdent un sens physique. Cette tension éclate au Congrès Solvay de 1927, où De Broglie et Schrödinger exposent la mécanique ondulatoire tandis que Born et Heisenberg défendent la mécanique matricielle. Ce congrès devient rapidement mythique : il marque l’apogée des débats fondateurs, mais aussi la dernière présidence d’Hendrik Lorentz, figure tutélaire des premières théories quantiques.
La question qui se pose alors est celle de la cohérence : comment deux théories si différentes, l’une continue et l’autre discrète, l’une spatialisée et l’autre purement algébrique, peuvent-elles décrire les mêmes phénomènes ? La réponse viendra d’un jeune physicien britannique, Paul Dirac, qui entre 1925 et 1930 démontre que les deux approches ne sont pas concurrentes mais constituent deux représentations d’une même structure mathématique linéaire. En s’appuyant sur les travaux du mathématicien David Hilbert, Dirac construit un formalisme abstrait capable d’englober et de réconcilier les deux visions. Ce formalisme, celui des espaces de Hilbert, des opérateurs hermitiens et du calcul bra-ket, deviendra la langue commune de toute la mécanique quantique.
Le présent article s’attache à présenter le deuxième volet, la mécanique matricielle. Au tournant des années 1920, la physique classique est ainsi confrontée à des phénomènes qu’elle ne parvient plus à expliquer : la structure fine des spectres atomiques, la stabilité des orbites électroniques, ou encore l’émission discontinue d’énergie par les atomes. C’est dans ce contexte de crise théorique qu’apparaît une nouvelle formulation de la mécanique : la mécanique matricielle, initiée par Werner Heisenberg en 1925, puis formalisée avec Max Born et Pascual Jordan. Cette approche radicalement nouvelle ne cherche plus à décrire la trajectoire d’une particule, mais se concentre uniquement sur les grandeurs observables et leur évolution dans le temps. Dans cet article, nous allons explorer cette révolution conceptuelle qu’a représentée la mécanique matricielle, et comprendre comment elle a profondément transformé notre vision du monde microscopique.
Nous commencerons par resituer le contexte historique de cette naissance, entre crises du modèle de Bohr et limites de la physique classique. Nous verrons ensuite les principes fondamentaux de la mécanique matricielle, ses outils mathématiques, son interprétation physique.
Dans une troisième partie, nous nous attarderons sur l’une des conséquences les plus célèbres de cette nouvelle mécanique : le principe d’indétermination d’Heisenberg, qui bouleverse les notions classiques de position et de vitesse.
Enfin, pour conclure, nous montrerons que l’indétermination est une propriété du monde microscopique, les phénomènes macroscopiques étant masqués par les phénomènes statistiques.
Le contexte historique
Parallèlement aux travaux de De Broglie, Werner Heisenberg avait entrepris au début des années 1920 une approche radicalement différente qui conduira à l’établissement de la mécanique matricielle. Heisenberg, travaillant sur le problème du calcul de l’intensité des raies spectrales de l’atome d’hydrogène, avait cherché à décrire les systèmes atomiques uniquement à partir de résultats de mesures expérimentales. Contrairement à De Broglie et Schrödinger qui s’intéressaient à l’état du système proprement dit, au travers de la fonction d’onde, Heisenberg s’intéressait aux résultats des mesures faites sur un système.
Nous avons commencé par présenter la mécanique ondulatoire parce que sa naissance due à De Broglie est antérieure à celle de la mécanique matricielle. Mais historiquement c’est la mécanique matricielle qui a été la première à proposer une interprétation théorique de l’intensité des raies spectrales de l’hydrogène, un an avant la proposition de l’équation de Schrödinger et à sa résolution via les états stationnaires de l’hydrogène.
Au début des années 1920, le modèle atomique qui fait référence est toujours celui proposé par Bohr et Sommerfeld au milieu des années 1910. Dans ce modèle, les électrons sont en orbite autour d’un noyau atomique. Sur la base de ce modèle, de nombreux physiciens ont cherché à calculer les positions et les vitesses des électrons sur leurs différentes orbites potentielles en s’inspirant de la mécanique céleste, sans y parvenir. Une autre difficulté, à laquelle étaient confrontés les physiciens, était d’expliquer la façon dont un électron peut passer d’une orbite à une autre, les fameux sauts quantiques, ce qui était tout simplement inconcevable avec des modélisations classiques du mouvement des électrons sur des orbites.
C’est sous l’égide de Sommerfeld puis de Bohr, qu’Heisenberg proposera sa théorie de la mécanique quantique matricielle. Sommerfeld a joué un rôle très important en Allemagne en physique quantique entre les deux guerres mondiales. Il sera notamment le directeur de thèse de nombreux grands scientifiques allemands ou étrangers de cette époque, Heisenberg donc, mais également Wolfgang Pauli, ou encore Peter Debye, Hans Bethe, Isaac Rabi et tant d’autres. Heisenberg et Pauli étaient des amis très proches et sont considérés aujourd’hui comme deux des principaux pionniers de la physique quantique.
Sommerfeld présentera Heisenberg à Bohr en 1922, ce qui conduira Heisenberg à s’intéresser plus attentivement aux travaux de Bohr, alors considéré comme la référence internationale de la physique quantique. Les échanges entre Bohr et Heisenberg seront de nature aussi bien scientifique que philosophique, Bohr considérant qu’il ne faut pas nécessairement chercher à comprendre la nature profonde des phénomènes quantiques mais plus modestement se contenter d’interpréter les observations expérimentales que l’on peut faire à l’échelle macroscopique.
Le point de départ des travaux d’Heisenberg pour aboutir à la mécanique matricielle est le modèle de Bohr-Sommerfeld de l’atome d’hydrogène qui permettait de justifier les longueurs d’onde des raies spectrales. Une des grandes difficultés de ce modèle était donc de pouvoir concilier les notions de trajectoire des électrons, qu’elles soient circulaires ou elliptiques avec les idées de quantification. De nombreuses tentatives de conciliation ont été faites, mais aucune n’était vraiment satisfaisante.
Partant de ce constat, Heisenberg considérera que comme il n’était pas possible d’observer la trajectoire des électrons, il ne fallait pas partir de l’hypothèse que ces trajectoires existent. Les seules choses que l’on peut observer ce sont les raies spectrales, leur longueur d’onde et leur intensité. Il fallait donc bâtir une théorie uniquement à partir de ces mesures observables sans postuler l’existence d’une hypothétique trajectoire.
La mécanique matricielle (1925)
En 1925, Heisenberg cherche ainsi à établir une mécanique qui repose exclusivement sur des grandeurs observables. Partant du constat que la trajectoire d’un électron autour du noyau, telle que la conçoit le modèle de Bohr, ne peut être observée, il rejette cette notion en considérant qu’elle n’a pas de réalité objective. Si on ne peut modéliser ou mesurer la trajectoire des électrons autour du noyau sur les orbites, rien de permet de dire que ce mouvement existe vraiment. En revanche, les sauts quantiques entre niveaux d’énergie, eux, laissent une trace directe dans les raies spectrales, avec des longueurs d’onde et des intensités pouvant être mesurées. C’est à partir de ces données spectroscopiques qu’il construit sa théorie.
Ainsi, dans le formalisme d’Heisenberg, les transitions entre niveaux d’énergie deviennent l’unité fondamentale du réel. L’électron ne décrit plus une orbite continue, mais passe d’un état à un autre, en émettant ou absorbant un quantum d’énergie. Ce sont ces transitions qui seront représentées mathématiquement dans la mécanique matricielle.
Dans le modèle de Bohr-Sommerfeld, les longueurs d’onde des raies spectrales dépendent de l’état initial d’énergie et de l’état final d’énergie. On peut repérer ces états par deux indices m et n. Heisenberg postule alors que toutes les grandeurs mesurables, qui sont une manifestation macroscopique d’une transition entre ces deux états, peuvent être repérées par ces deux indices. Heisenberg remarque que les fréquences des raies spectrales obéissent à une règle d’addition simple. Le point de départ de toute sa théorie est ainsi de constater que les fréquences des raies spectrales d’émission d’un atome peuvent s’additionner. Si on prend un état initial n et un état final m, et que l’on considère que pour passer de l’état n à l’état m on peut passer par un état k, on a, comme dans la série de Balmer généralisée :
\[\vartheta_{nm} = R\left\lbrack \frac{1}{n^{2}} – \frac{1}{m^{2}} \right\rbrack\ et\ \vartheta_{nk} + \vartheta_{km} = R\left\lbrack \frac{1}{n^{2}} – \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{k^{2}} – \frac{1}{m^{2}} \right\rbrack = \ \vartheta_{nm}\]
Partant de là, il postule que toutes les grandeurs physiques mesurables (positions, moments, etc.) doivent être représentées par des objets mathématiques indexés par deux entiers (m, n), correspondant aux transitions d’un état initial n vers un état final m. Il n’y a donc plus de trajectoire continue, mais un ensemble de transitions entre états quantifiés.
Ces quantités peuvent être décrites par des coefficients \(A_{mn}\), dont la dépendance temporelle est exprimée par une relation reflétant la structure oscillatoire du phénomène d’absorption / émission de la lumière :
\[A = A_{mn}(0)\ e^{- i\left( E_{m} – E_{n} \right)\text{/}ħ}\ \ \ \]
La représentation des quantités physiques pouvant être mesurées peut alors être faite sous forme de tableau, correspondant à la représentation des transitions entre différents états du système étudié, par exemple l’atome d’hydrogène.
\[\begin{matrix} \begin{matrix} A & Etat\ 1 & Etat\ 2 \\ Etat\ 1 & A_{11} & A_{12} \\ Etat\ 2 & A_{21} & A_{22} \end{matrix} & \begin{matrix} \ldots & Etat\ n & \ldots \\ \ & A_{1n} & \ \\ \ & A_{2n} & \ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ Etat\ m & A_{m1} & A_{m2} \\ \ldots & \ & \ \end{matrix} & \begin{matrix} \ & \ & \ \\ \ & A_{mn} & \ \\ \ & \ & \ \end{matrix} \end{matrix}\]
En développant sa théorie, Heisenberg remarque une propriété surprenante de ces coefficients \(A_{mn}\ \)qu’il utilise pour représenter les grandeurs physiques. Pour que ses formules décrivent correctement la dépendance temporelle des intensités des raies spectrales, il doit définir une règle de multiplication particulière entre ces coefficients. Cette règle ne correspond pas à la multiplication ordinaire des nombres : il s’agit d’un produit non commutatif, qui dépend de deux indices, comme dans le cas des matrices.
Heisenberg justifie ce choix en invoquant le principe de correspondance : à haute énergie, sa théorie doit retrouver les résultats de la mécanique classique. Or, dans cette limite classique, les grandeurs physiques périodiques s’expriment par des séries de Fourier, et leur produit implique une combinaison précise de leurs coefficients (on parle de somme convolutive des coefficients de Fourier – cf. parenthèse mathématique ci-dessous).
Parenthèse mathématique – Somme convolutive de séries de Fourier |
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Pour respecter ce comportement dans la limite classique, Heisenberg impose une règle de multiplication particulière à ses coefficients \(A_{mn}\) :
\[\left( A^{2} \right)_{mn} = \ \sum_{k}^{}{A_{mk}*A_{kn}}\]
Autrement dit, la nécessité de préserver le comportement périodique classique dans la limite correspondante oblige à introduire une algèbre non commutative, celle des matrices. C’est cette exigence de cohérence avec le monde classique qui conduit à une structure mathématique complètement nouvelle.
C’est Max Born, à qui Heisenberg soumet son idée, qui identifie dans cette règle de multiplication une structure matricielle. Bien que Heisenberg lui-même ne maîtrise pas encore le formalisme des matrices, Born aidé du mathématicien Pascual Jordan comprend que l’ensemble des coefficients forme une matrice d’opérateurs.
En 1925, les trois hommes publient une série d’articles fondateurs[1] dans lesquels naît la mécanique matricielle :
- Les observables sont des matrices indexées par les états d’énergie,
- Leur évolution temporelle suit des règles dérivées du formalisme de Fourier,
- Leur multiplication est non commutative, ce qui donne naissance aux commutateurs d’opérateurs.
Le commutateur fondamental sera établi en étudiant l’oscillateur harmonique :
\[\lbrack X,P\rbrack = (X)(P) – (P)(X) = \frac{2\pi i}{ħ}\ Id\ \ avec\ Id,\ la\ matrice\ identité\]
Heisenberg sera d’ailleurs un peu perplexe sur cette notion de non-commutativité. Il ne pouvait pas concevoir que les résultats de mesures expérimentales puissent dépendre de l’ordre dans lesquelles on les faisait.
C’est Wolfgang Pauli qui apporte la validation décisive de cette nouvelle mécanique. Dès 1926, il applique le formalisme matriciel au cas emblématique de l’atome d’hydrogène. Plutôt que de résoudre une équation différentielle comme le fera Schrödinger quelques mois plus tard, Pauli construit une méthode entièrement algébrique, fondée sur une symétrie cachée du problème. Il exploite pour cela le vecteur de Runge-Lenz, une quantité conservée bien connue en mécanique classique pour les potentiels de type Coulomb (ce vecteur pointe vers le périhélie de l’orbite elliptique et sa conservation explique la stabilité de l’orbite).
En reformulant cette symétrie dans le cadre matriciel, Pauli montre que le problème de l’hydrogène possède une structure liée au groupe de rotation SO(4). Cette symétrie permet de fermer l’algèbre des observables et d’en extraire les valeurs propres de l’énergie, qui correspondent exactement à celles du modèle de Bohr. Ainsi, Pauli parvient à démontrer que les niveaux d’énergie de l’hydrogène ne dépendent que du nombre quantique principal n, exactement comme le prédisaient les expériences et le modèle de Bohr. Mais cette fois, le résultat est obtenu sans approximation, sans orbite, et dans le cadre rigoureux de la nouvelle mécanique matricielle. Ce succès, avant même la formulation de Schrödinger, donne à la théorie d’Heisenberg, Born et Jordan sa pleine légitimité physique.
La mécanique matricielle représente une rupture radicale avec la mécanique classique. Elle abandonne la notion de trajectoire, et elle décrit les observables comme des objets algébriques non commutatifs. Avec la validation par Pauli, la mécanique matricielle prouve qu’elle n’est pas une abstraction mathématique arbitraire, mais une théorie prédictive cohérente, capable d’expliquer les observations spectroscopiques. La voie est alors ouverte à une formulation plus souple, plus géométrique, celle de la mécanique ondulatoire, avant leur réconciliation finale par Dirac.
Le principe d’indétermination d’Heisenberg (1927)
La non-commutation des matrices et ses conséquences intriguait Heisenberg. Il ne pouvait pas concevoir que les propriétés des systèmes pouvaient dépendre de l’ordre dans lequel on les mesurait. Comment est-il possible que si on mesure la position puis la quantité de mouvement d’un électron, on ne trouve pas le même résultat que si on mesure d’abord la quantité de mouvement et ensuite la position. Heisenberg n’avait pas forcément conscience que cette question n’avait pas de sens en mécanique quantique. Le fait de mesurer la position d’un électron conduit, du fait du postulat sur la réduction du paquet d’onde, à ce que cet électron perde ses propriétés quantiques. On ne peut donc pas mesurer successivement deux propriétés d’un même système quantique. Mais cette question du sens physique de la non-commutation des matrices était bien entendue tout à fait pertinente, indépendamment du postulat de réduction du paquet d’ondes.
Pour illustrer son principe d’indétermination, Heisenberg propose en 1927[2] une expérience de pensée appelée microscope à rayons gamma. Le but est de montrer qu’il existe une limite fondamentale à la précision avec laquelle on peut connaître simultanément la position et l’impulsion d’une particule, ici un électron. L’idée est la suivante : on cherche à mesurer la position d’un électron en l’observant à travers un microscope très puissant. Pour cela, on l’éclaire à l’aide d’un photon très énergétique, comme un rayon gamma, dont la longueur d’onde est extrêmement petite. En optique, la résolution d’un microscope est limitée par la diffraction et est de l’ordre de \(\delta x\) ∼ λ/ sin θ où θ est l’angle d’ouverture du système optique.
Pour rendre Δx aussi petit que possible (donc localiser précisément l’électron), il faut choisir un photon à petite longueur d’onde λ, c’est-à-dire à grande énergie. Mais un photon gamma est si énergétique qu’en entrant en collision avec l’électron, il le perturbe fortement : il lui transmet une quantité d’impulsion non négligeable par effet Compton. Comme l’angle précis de diffusion du photon n’est pas connu (il est compris dans un cône d’ouverture θ), cela introduit une incertitude sur l’impulsion transmise à l’électron, de l’ordre de \(\delta p_{x}\) = h / λ sin θ. En combinant cette incertitude avec celle sur la position, on trouve :
\[\delta x\ \delta p_{x}\ = \ \ ħ\]
Heisenberg se rendit compte que le produit de l’incertitude sur la position par celle sur l’impulsion était équivalente à la constante de Planck, conformément à sa relation de non-commutation des matrices de positions et d’impulsions de la théorie de la mécanique matricielle. Heisenberg pensa d’abord qu’il s’agissait d’une relation d’imprécision sur les mesures effectuées.
Et dans son premier article sur le sujet, c’est bien avec ce terme d’incertitude qu’il formula ses résultats. Mais Bohr, qui peut être considéré comme le mentor d’Heisenberg, suggéra au contraire que cette relation était intrinsèque au système quantique, et préexistait à son observation. Heisenberg se rangera assez vite à l’idée de Bohr, et utilisera par la suite le terme d’indétermination. C’est pourquoi il est préférable d’utiliser le vocable de principe d’indétermination plutôt que celui de principe d’incertitude pour désigner ce principe énoncé par Heisenberg.
Cette expérience de pensée ne correspond pas à une expérience réelle. Elle ne cherche pas à tester le principe mais à le rendre intuitif. Le principe d’indétermination découle en réalité de la structure mathématique même de la mécanique quantique, et en particulier du fait que les opérateurs position et impulsion ne commutent pas. Néanmoins, l’image du microscope de Heisenberg a joué un rôle pédagogique important pour faire comprendre qu’il ne s’agit pas d’un défaut de l’appareil de mesure, mais bien d’une limite physique fondamentale imposée par la nature quantique des phénomènes.
Ce principe d’indétermination en mécanique matricielle est le pendant de la notion de probabilité de la fonction d’onde en mécanique ondulatoire. Dans les deux cas ils mettent fin au déterminisme de la physique. D’ailleurs ce principe d’indétermination sera un des arguments majeurs en faveur de l’acceptation de la proposition probabiliste de Born qui avait jusque-là rencontré un grand scepticisme, comme on l’a déjà évoqué précédemment.
On peut illustrer le lien entre ce principe d’indétermination d’Heisenberg et la notion de probabilité associée à la fonction d’onde introduite par Born en 1926, en reprenant l’exemple de l’atome d’hydrogène. Considérons un électron sur une des orbitales atomiques, avec un niveau d’énergie donné. Le principe d’indétermination d’Heisenberg postule qu’on ne peut définir simultanément la position et l’impulsion de cet électron, ou plus précisément que plus l’impulsion de l’électron est définie, moins sa position l’est. Ce principe d’indétermination conduit donc directement à ce que la position de l’électron dans une orbitale ne puisse pas être définie précisément. La notion de probabilité introduite par Born dans le cadre de la mécanique ondulatoire est ainsi cohérente avec le principe d’indétermination introduit par Heisenberg dans le cadre de la mécanique matricielle.
Le principe d’indétermination en mécanique matricielle et la notion de probabilité en mécanique ondulatoire sonnent donc le glas du déterminisme de la physique classique. Dans cette dernière on peut définir simultanément la position et l’impulsion d’un mobile, ce qui permet de caractériser sa trajectoire. Lorsque l’on connaît la position, la vitesse et les forces s’exerçant sur ce mobile on peut prédire grâce à la loi fondamentale de la dynamique, sa trajectoire future. A contrario en mécanique quantique la connaissance de l’état d’une particule et des forces qui s’exercent sur elles ne suffisent plus pour connaître sa position et sa vitesse dans le futur. Plus précisément, on ne peut pas définir simultanément sa position et sa vitesse. La notion de trajectoire en mécanique quantique n’a donc tout simplement pas de sens. C’est bien l’hypothèse qu’Heisenberg avait prise en 1925 pour jeter les bases de sa mécanique matricielle, mais il ne s’attendait sans doute pas à cette conséquence, un peu comme Schrödinger qui ne s’attendait pas à la conséquence de l’indéterminisme de son équation de comportement de l’électron. Ce sujet fera évidemment l’objet d’intenses débats philosophiques, notamment de la part des deux éminences de la mécanique quantique Niels Bohr et Albert Einstein. On reviendra sur leur querelle relative à l’explication de la physique quantique dans une autre rubrique.
Parenthèse mathématique – Le principe d’indétermination d’Heisenberg |
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Pour clore ce chapitre, on va évoquer quelques conséquences de ce principe d’indétermination sur les propriétés atomiques. Sans expliciter les calculs, on peut comprendre en s’appuyant sur ce principe pourquoi l’électron se tient à distance du noyau atomique. En effet si l’électron se trouvait trop près du noyau, le principe d’Heisenberg conduirait à une indétermination sur la vitesse de l’électron supérieure à la vitesse de la lumière. Ce qui veut dire que la vitesse de l’électron pourrait être supérieure à la vitesse de la lumière, en contradiction totale avec la théorie de la relativité restreinte.
Le principe d’indétermination permet de la même façon d’expliquer l’existence d’un niveau d’énergie fondamental stable. Dans le modèle atomique de Bohr l’existence de cet état fondamental était postulée, au même titre que tous les niveaux d’énergie des orbites, le principe d’indétermination permet d’expliquer pourquoi il existe. Imaginons en effet qu’un électron se rapproche du noyau.
Dans ce cas, du fait du principe d’indétermination, plus la distance au noyau devient petite et plus l’impulsion devient grande. L’énergie de l’électron étant donnée par la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique, plus l’électron se rapproche du noyau, plus son énergie cinétique augmente, et elle augmente plus vite que la valeur absolue de l’énergie potentielle. L’état stable étant obtenu en minimisant l’énergie totale, on constate qu’il existe une distance optimale de l’électron par rapport au noyau pour que celui-ci soit dans un état stable.
Pour les plus attentifs, vous aurez remarqué qu’on mélange allègrement dans cette explication des notions de physique classique (les orbites de Bohr sont des trajectoires, ou les notions d’énergie cinétique et potentielle) et de mécanique quantique (principe d’Heisenberg), ce n’est donc pas d’une grande rigueur. Mais cela permet malgré tout de sentir en quoi le principe d’Heisenberg permet d’expliquer la stabilité des atomes.
L’indétermination dans le monde macroscopique
Une question vient naturellement à l’esprit après avoir évoqué ce principe d’indétermination d’Heisenberg et la notion probabiliste de la fonction d’onde introduite par Born : pourquoi les phénomènes macroscopiques sont-ils déterministes alors que les phénomènes microscopiques ne le sont pas ? Les phénomènes macroscopiques sont déterministes non pas parce que les lois fondamentales changent, mais parce que les comportements aléatoires individuels se moyennent à grande échelle, produisant des effets globaux prévisibles. On avait déjà pu appréhender cette question des effets statistiques des grands nombres lorsqu’on avait évoqué la théorie cinétique des gaz, et en particulier les apports de Boltzmann.
Les phénomènes microscopiques, régis par la mécanique quantique, sont fondamentalement aléatoires : une particule quantique n’a pas de trajectoire bien définie, seulement un nuage de probabilité qui décrit où elle pourrait se trouver ou comment elle pourrait évoluer. Pourtant, quand on passe à l’échelle macroscopique, celle de notre expérience quotidienne, le caractère probabiliste disparaît. Les comportements deviennent déterministes, les lois classiques, comme celles de Newton, redeviennent applicables, et on peut prévoir le futur d’un système si on connaît son état initial. Cela peut sembler paradoxal : comment un monde fondamentalement probabiliste peut-il engendrer un monde prédictible ?
La réponse repose sur deux idées. D’une part le fait que l’on prend en compte un grand nombre de particules : lorsqu’on considère des milliards d’atomes ou de molécules, leurs comportements individuels finissent par se compenser statistiquement. D’autre part le rôle de la quantité d’action, une notion qui permet de comprendre pourquoi les effets quantiques disparaissent à notre échelle.
Quand on se réfère à cette quantité d’action, l’explication de la disparition du caractère indéterministe à l’échelle macroscopique tient évidemment à la faible valeur de la constante de Planck h. Aucun des objets que l’on étudie à notre échelle humaine n’est impacté par le principe d’indétermination ou le caractère probabiliste, même la plus légère des poussières que l’on pourrait observer. Les conséquences sont beaucoup trop infimes. Prenons un exemple qui parlera à la grande majorité des lecteurs : considérons un joueur de football qui s’apprête à tirer un pénalty. Le gardien doit-il prendre en compte le principe d’indétermination d’Heisenberg pour anticiper l’endroit où il va devoir plonger pour arrêter le tir.
La réponse est évidemment non, et heureusement pour notre vie de tous les jours. Illustrons-le par un calcul très simple : La masse d’un ballon de football est d’environ 500 grammes, et la vitesse du ballon tiré par un joueur de football peut aller jusqu’à 100 km/h, soit environ 28 m/s. la quantité de mouvement du ballon à l’occasion du pénalty est donc de 14 Kg m/s. Supposons que le gardien estime la vitesse avec une incertitude de 50 %, ce qui est énorme et ne change pas grand-chose au résultat. L’incertitude sur la quantité de mouvement est donc d’environ 7 Kg m/s. Si on applique maintenant la relation d’indétermination d’Heisenberg on arrive à une précision sur la position du ballon de l’ordre de 10-34 m ! Le gardien peut être serein, en tous cas vis-à-vis de la prise en compte de ce principe d’Heisenberg. Pour le reste, il s’agit avant tout d’une histoire de probabilité (et non d’indétermination).
Les originalités de la physique quantique sont donc bien limitées au monde microscopique. Et comme je l’ai déjà évoqué précédemment, pour se faire une idée sur la nécessité d’avoir recours ou non à la physique quantique, on peut comparer l’ordre de grandeur de l’action du système étudié avec la constante de Planck. La transition du comportement probabiliste microscopique vers un comportement déterministe macroscopique ne signifie pas un changement de lois fondamentales, mais c’est la petitesse de h par rapport aux actions typiques de notre monde qui rend les effets quantiques négligeables à grande échelle, faisant émerger des lois classiques prévisibles.
Conclusion
La mécanique matricielle constitue une des révolutions intellectuelles de la physique moderne. En renonçant d’emblée à décrire des trajectoires invisibles ou des mécanismes sous-jacents intuitifs, Heisenberg, Born et Jordan ont opéré un renversement profond de perspective : la théorie physique ne doit plus chercher à représenter ce que « fait réellement » l’électron dans l’atome, mais seulement organiser de manière cohérente les résultats observables des expériences.
Cette rupture est considérable. Avec la mécanique matricielle, les grandeurs physiques cessent d’être de simples nombres ou fonctions de la trajectoire. Elles deviennent des objets mathématiques non commutatifs, des matrices, dont l’algèbre encode directement les propriétés du monde microscopique. Ce formalisme, d’abord déroutant, permet pourtant d’expliquer avec succès les spectres atomiques et trouve une validation décisive dans son application à l’atome d’hydrogène par Pauli. La mécanique quantique acquiert alors une première forme rigoureuse, abstraite, mais extraordinairement efficace.
L’une des conséquences les plus profondes de cette nouvelle mécanique est le principe d’indétermination d’Heisenberg. Celui-ci ne traduit pas une simple limitation technique de nos instruments de mesure, mais une propriété intrinsèque du monde quantique. La position et l’impulsion d’une particule ne peuvent plus être conçues comme des propriétés simultanément définies. Avec cela, c’est toute la notion classique de trajectoire qui s’effondre. L’objet quantique n’est plus une petite bille dont on pourrait suivre le mouvement, mais une entité dont certaines propriétés ne prennent sens qu’au moment de la mesure.
Cette remise en cause du déterminisme classique a suscité, on le sait, des débats philosophiques considérables. Mais elle a aussi permis de comprendre pourquoi les phénomènes microscopiques obéissent à une logique différente de celle du monde ordinaire. À l’échelle macroscopique, les effets quantiques sont masqués par les moyennes statistiques et par la très petite valeur de la constante de Planck devant les actions caractéristiques des objets usuels. Le déterminisme classique apparaît alors non comme une loi fondamentale, mais comme une approximation émergente valable à grande échelle.
La mécanique matricielle n’a cependant pas constitué l’aboutissement définitif de la théorie quantique. Son langage algébrique, aussi puissant soit-il, paraissait difficile à concilier avec l’approche plus intuitive de la mécanique ondulatoire développée presque simultanément par Schrödinger. Pendant quelques années, ces deux formulations ont coexisté comme deux visions apparemment incompatibles du monde quantique. Il faudra les travaux de Dirac, puis le formalisme des espaces de Hilbert, pour comprendre qu’elles expriment en réalité une seule et même théorie.
Ainsi, la mécanique matricielle occupe une place singulière dans l’histoire de la physique. Elle est la première formulation complète de la mécanique quantique, celle qui introduit le plus clairement la rupture avec les catégories classiques, et celle qui fait apparaître avec le plus de netteté l’étrangeté profonde du monde microscopique. En ce sens, elle ne se contente pas d’être une méthode de calcul : elle marque l’entrée de la physique dans une nouvelle conception du réel.
- Werner Heisenberg, „Über quantentheoritische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen “, 1925 – Max Born und Pascual Jordan, „Zur Quantenmechanik “, 1925 – Max Born, Werner Heisenberg und Pascual Jordan, „Zur Quantenmechanik II “, Zeitschrift für Physik, 1925 ↑
- Werner Heisenberg, „Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik“. Zeitschrift für Physik, 43(3–4), 172–198, 1927 ↑