Le principe d’incertitude ou, plus correctement principe d’indétermination, désigne toute inégalité mathématique affirmant qu’il existe une limite fondamentale pour la détermination de deux propriétés physiques d’un même système quantique.
Présenté pour la première fois en 1927, par le physicien allemand Werner Heisenberg, il énonce que toute amélioration de la précision de mesure de la position d’une particule se traduit par une moindre précision de mesure de sa vitesse et vice-versa. La formulation « d’incertitude » est impropre car elle laisse penser qu’une particule peut avoir une position et une vitesse déterminée, et que ce sont les mesures expérimentales qui ne permettent pas de les connaître avec suffisamment de précision.
Si ce principe a été énoncé à l’origine pour les mesures de la position et de la vitesse, il est en fait applicable à tout couple d’observables non commutatives (on introduit cette notion dans la parenthèse mathématique relative à la description du modèle algébrique de la mécanique quantique).
Il s’agit en fait plus d’un théorème que d’un principe, puisque la relation est parfaitement démontrable. Pour deux observables A et B le principe d’indétermination s’écrit :
\[\mathbf{\mathrm{\Delta}a\ \mathrm{\Delta}b \geq 1}\textbf{/}\mathbf{2 < \psi\ }\textbf{/}\left\lbrack \mathbf{A,B} \right\rbrack\textbf{/}\mathbf{\psi > \ }\]
Où ∆a et ∆b sont les écarts quadratiques des valeurs moyennes <a> et <b> des observables A et B.
\[(\mathrm{\Delta}a)^{2} = < a^{2} \succ – \ ( < a > )^{2}\]
On constate que cette relation ne fournit une inégalité intéressante (c’est à dire différente de zéro) que dans la mesure où les deux observables considérées ne commutent pas, ce qui est le cas de la position et de l’impulsion par exemple.
On retrouve en effet directement la formule initiale d’Heisenberg pour les observables position et impulsion :
\[\mathrm{\Delta}x\ \mathrm{\Delta}p \geq 1\text{/}2 < \psi\ \text{/}\lbrack X,P\rbrack\text{/}\psi > \ = \frac{ħ}{2}\]
Pour ceux que cela intéresse nous allons démontrer le principe d’indétermination à partir du commutateur de deux matrices quelconques. Cela nécessite quelques connaissances d’algèbre. Soient deux observables représentées par les opérateurs hermitiens \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) qui ne commutent pas entre eux. Pour chacun de ces opérateurs, on introduit la notion d’opérateur centré, c’est-à-dire un opérateur dont la moyenne est nulle :
\[\widehat{A’} = \widehat{A} – \left\langle \widehat{A} \right\rangle\ \widehat{Id}\ \ \ et\ \widehat{B’} = \widehat{B} – \left\langle \widehat{B} \right\rangle\ \widehat{Id}\]
Considérons un vecteur d’état normalisé noté \(\psi >\). On définit alors les deux vecteurs suivants dans l’espace de Hilbert :
\[\left| \alpha > \ = \ \ \widehat{A’}\ \right|\psi > \ \ et\ \ \left| \beta > \ = \ \ \widehat{B’}\ \right|\psi > \ \ \ \]
La norme de ces vecteurs correspond aux écarts types des observables \(\widehat{A}\) et \(\widehat{B}\) :
\[\left\| \alpha \right\|^{2} = \ < \alpha\ ǀ\ \alpha > \ = \ < \ \psi\ ǀ\ \left( \widehat{A’} \right)^{2}\ ǀ\ \psi > \ = (\mathrm{\Delta}a)^{2}\ et\ \ \ \left\| \beta \right\|^{2} = \ (\mathrm{\Delta}b)^{2}\]
En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on obtient une inégalité sur le produit scalaire des deux vecteurs :
\[{\ \ \ | < \alpha\ ǀ\ \beta > |\ }^{2}\ \leq \ \left\| \alpha \right\|^{2}\ \left\| \beta \right\|^{2} = \ (\mathrm{\Delta}a)^{2}\ (\mathrm{\Delta}b)^{2}\ \]
Essayons maintenant de relier ce produit scalaire au commutateur. On introduit le commutateur et l’anti-commutateur des deux opérateurs centrés :
\[Commutateur\ :\ \left\lbrack \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\rbrack = \ \widehat{A’}\widehat{B’} – \widehat{B’}\widehat{A’}\]
\[Anti – commutateur\ :\ \left\{ \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\} = \ \widehat{A’}\widehat{B’} + \widehat{B’}\widehat{A’}\]
Où on a immédiatement :
\[\widehat{A’}\widehat{B’} = \ \frac{1}{2}\ \left\lbrack \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\rbrack + \ \frac{1}{2}\ \left\{ \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\}\]
Le produit scalaire \(< \alpha\ ǀ\ \beta > \ \)est un nombre complexe, avec une partie réelle et une partie imaginaire. On peut l’écrire sous la forme :
\[< \alpha\ ǀ\ \beta > \ = \ < \ \psi\ ǀ\ \widehat{A’}\widehat{B’}\ ǀ\ \psi > \ = \ \frac{1}{2}\ < \ \psi\ ǀ\ \left\lbrack \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\rbrack\ ǀ\ \psi > \ + \ \frac{1}{2} < \ \psi\ ǀ\ \left\{ \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\}\ ǀ\ \psi > \ \]
Or le commutateur est anti hermitien, alors que l’anti-commutateur est hermitien. On en déduit que le nombre complexe comprenant le commutateur représente la partie imaginaire, alors que le nombre complexe comprenant l’anti-commutateur représente la partie réelle. En utilisant le fait que le module du nombre complexe est supérieur au module de sa partie imaginaire, on déduit :
\[(\mathrm{\Delta}a)^{2}\ (\mathrm{\Delta}b)^{2}\ \geq \ {\ \ \ | < \alpha\ ǀ\ \beta > |\ }^{2}\ = \ \left| < \ \psi\ ǀ\ \widehat{A’}\widehat{B’}\ ǀ\ \psi > \right|^{2}\ \geq \frac{1}{4}\ \ \left| < \ \psi\ \left\lbrack \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\rbrack\ \psi > \right|^{2}\]
On notera enfin que le commutateur des opérateurs centrés est égal au commutateur des opérateurs :
\[\left\lbrack \widehat{A’},\ \widehat{B’} \right\rbrack = \ \left\lbrack \widehat{A},\widehat{B}\ \right\rbrack\]
D’où on déduit le principe d’indétermination d’Heisenberg :
\[\mathbf{\mathrm{\Delta}a\ \mathrm{\Delta}b\ \geq \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\ }\left| \left\langle \mathbf{\ }\mathbf{\psi\ ǀ\ }\left\lbrack \widehat{\mathbf{A}}\mathbf{,}\widehat{\mathbf{B}}\mathbf{\ } \right\rbrack\mathbf{\ }\mathbf{ǀ\ \psi}\mathbf{\ } \right\rangle \right|\]
Ainsi, ce que l’on appelle communément « principe d’indétermination » apparaît en réalité comme une conséquence directe de la structure mathématique de la mécanique quantique. L’inégalité obtenue ne traduit pas une limite expérimentale ou une imperfection des instruments de mesure, mais une propriété intrinsèque des observables elles-mêmes, liée à leur non-commutativité.
Dans ce cadre, la notion classique de trajectoire perd toute pertinence : il n’est plus possible d’attribuer simultanément à une particule des valeurs précises pour certaines grandeurs physiques. La description du système quantique repose alors non plus sur des variables dynamiques déterminées, mais sur des distributions de probabilité, dont les écarts quadratiques sont contraints par ces relations fondamentales.
Cette inégalité illustre de manière particulièrement claire la rupture entre la physique classique et la mécanique quantique. Là où les grandeurs physiques commutent et peuvent être connues simultanément avec une précision arbitraire, la mécanique quantique impose une structure algébrique plus riche, dans laquelle les observables ne sont plus de simples nombres, mais des opérateurs agissant sur un espace d’états.
Enfin, le principe d’indétermination ne doit pas être perçu comme une limitation de la théorie, mais au contraire comme l’une de ses forces : il garantit la cohérence interne du formalisme et reflète fidèlement les résultats expérimentaux. Il constitue ainsi l’une des expressions les plus profondes du passage d’une description déterministe du monde à une description fondamentalement probabiliste, au cœur de la physique moderne.