Dans cette parenthèse, nous allons détailler la notion de somme convolutive des séries de Fourier, qui joue un rôle central dans la genèse de la mécanique matricielle. C’est en effet en analysant la structure algébrique de ces séries que Werner Heisenberg a été conduit, par application du principe de correspondance de Niels Bohr, à introduire les matrices comme représentation des grandeurs physiques quantiques.
Considérons deux fonctions périodiques \(f(t)\ \)et \(g(t)\), que l’on développe en séries de Fourier :
\[f(t) = \sum_{m}^{}a_{m}e^{im\omega t},g(t) = \sum_{n}^{}b_{n}e^{in\omega t}\]
Le produit des deux fonctions est lui-même une fonction périodique :
\[h(t) = f(t)\text{ }g(t)\]
et peut donc être développé en série de Fourier :
\[h(t) = \sum_{k}^{}c_{k}e^{ik\omega t}\]
La question est alors de déterminer les coefficients \(c_{k}\)en fonction des coefficients \(a_{m}\ \)et \(b_{n}\). En remplaçant \(f(t)\ \)et \(g(t)\ \)par leurs développements respectifs, on obtient :
\[h(t) = \sum_{m}^{}{\sum_{n}^{}a_{m}}b_{n}\text{ }e^{i(m + n)\omega t}\]
En regroupant les termes correspondant à une même fréquence \(k\omega\), on trouve :
\[c_{k} = \sum_{m + n = k}^{}a_{m}b_{n}\]
Cette relation définit ce que l’on appelle une somme convolutive. Elle exprime le fait que chaque coefficient \(c_{k}\)résulte d’une combinaison de tous les couples d’indices dont la somme est égale à \(k\). Autrement dit, le produit de deux fonctions dans l’espace des temps se traduit par une convolution dans l’espace des fréquences.
Ce résultat, en apparence purement mathématique, possède une structure algébrique très particulière. Si l’on réécrit cette somme sous une forme légèrement différente :
\[c_{k} = \sum_{m}^{}a_{m}b_{k – m}\]
On constate qu’elle est formellement analogue à la loi de composition des éléments d’une matrice, où un coefficient résulte d’une somme portant sur un indice intermédiaire.
C’est précisément cette analogie qui a joué un rôle décisif dans les travaux de Heisenberg. À l’époque, le problème central est de décrire les transitions entre états quantiques, caractérisées par des fréquences observables dans les spectres. Plutôt que de chercher à décrire des trajectoires d’électrons inobservables, Heisenberg propose de ne manipuler que des grandeurs directement liées aux transitions entre niveaux d’énergie.
Dans ce contexte, une grandeur physique \(A\ \)n’est plus décrite par une fonction du temps classique, mais par un ensemble de coefficients \(A_{mn}\ \)décrivant les transitions entre états \(m\ \)et \(n\). La composition de deux grandeurs physiques doit alors refléter la composition des transitions : passer de \(m\ \)à \(n\ \)via un état intermédiaire \(k\). On est ainsi naturellement conduit à une loi de composition de la forme :
\[\left( AB)_{mn}=\sum_{k}^{}A_{mk}B_{kn} \right.,\]
qui n’est autre que la règle de multiplication des matrices.
Le lien avec la somme convolutive des séries de Fourier devient alors clair : dans les deux cas, une grandeur composée s’obtient par une somme sur un indice intermédiaire, traduisant une forme de “chaînage” des contributions élémentaires.
Cette transition conceptuelle s’inscrit directement dans le principe de correspondance de Bohr. Celui-ci impose que les relations classiques doivent être conservées dans la limite quantique, mais adaptées à des grandeurs observables. En remplaçant les fonctions classiques par des tableaux de coefficients décrivant des transitions, et en conservant la structure de composition donnée par la convolution, Heisenberg est conduit à remplacer les grandeurs physiques par des matrices.
Une conséquence immédiate de cette construction est que la multiplication ainsi définie n’est pas commutative :
\[AB \neq BA\]
Cette non-commutativité, déjà présente de manière implicite dans la structure des convolutions, devient un élément fondamental de la mécanique quantique. Elle est à l’origine des relations de commutation entre observables, qui seront formalisées peu après par Max Born et Pascual Jordan, puis systématisées par Paul Dirac.
Ainsi, ce qui pouvait apparaître comme un simple résultat d’analyse harmonique se révèle être le point de départ d’un changement radical de paradigme. La mécanique matricielle ne naît pas d’une abstraction arbitraire, mais d’une transposition fidèle de structures mathématiques déjà présentes dans la physique classique, appliquées à des grandeurs compatibles avec les exigences expérimentales de la physique quantique.