L’indiscernabilité des particules constitue l’un des aspects essentiels de la mécanique quantique. Contrairement à la physique classique, où les particules peuvent être distinguées individuellement par leurs trajectoires ou leurs propriétés intrinsèques, les particules quantiques identiques sont fondamentalement indiscernables : il n’existe aucune procédure expérimentale permettant de les étiqueter de manière absolue. Cette propriété impose une contrainte forte sur la structure mathématique des états quantiques décrivant un système à plusieurs particules.
D’un point de vue formel, cette indiscernabilité se traduit par l’invariance des observables physiques sous l’action du groupe des permutations. Autrement dit, les transformations qui échangent les particules ne doivent pas modifier les résultats des mesures. Cette exigence conduit naturellement à restreindre les états quantiques admissibles à ceux qui transforment de manière simple sous l’action des permutations, et elle est à l’origine de la distinction fondamentale entre bosons et fermions. L’objectif de ce qui suit est de formaliser cette propriété et d’en tirer les conséquences mathématiques et physiques.
Pour rendre compte de cette propriété d’indiscernabilité d’un système quantique, il faut que les observables physiques d’un système de n particules indiscernables soient invariantes par permutation d’une ou plusieurs particules. On va considérer un système de n particules identiques décrit par une fonction d’onde :
\[\Psi\left( \ \overrightarrow{x_{1}}\ ;\ \ \overrightarrow{x_{2}}\ \ ;\ldots;\ \ \overrightarrow{x_{i}}\ \ ;\ldots\ \overrightarrow{x_{n}}\ \right)\]
Où chaque \(\overrightarrow{x_{i}}\ \)caractérise les différentes particules du système. On va considérer l’opérateur de permutation d’une ou plusieurs particules, noté \(\mathbb{P}\), et une observable du système que l’on note \(A\).
L’ensemble des opérateurs de permutation \(\mathbb{P\ }\)forme une représentation du groupe symétrique \(S_{n}\), qui est le groupe des permutations de \(n\ \)objets. Ce groupe joue un rôle central dans la description des systèmes de particules indiscernables, car toute permutation générale peut être construite à partir de permutations élémentaires échangeant deux particules. L’étude des états quantiques se ramène ainsi à l’étude des représentations de ce groupe.
Pour cette observable physique \(A\), l’hypothèse d’indiscernabilité entre les particules impose que :
\[< \ \Psi\ ǀ\ \mathbb{P}^{\dagger}A\mathbb{\ P\ ǀ\ }\Psi\ > \ = \ < \ \Psi\ ǀ\ A\ \ ǀ\ \Psi\ > \ \]
Les vecteurs d’état avant et après permutation représentent en réalité un seul et même état physique. En mécanique quantique, un état n’est pas représenté par un vecteur unique de l’espace de Hilbert, mais par une classe d’équivalence de vecteurs définis à un facteur de phase globale près. Autrement dit, deux vecteurs \(\mid \Psi\rangle\ \)et \(e^{i\alpha} \mid \Psi\rangle\), où \(\alpha \in \mathbb{R}\), décrivent le même état physique.
Cette propriété découle directement de l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde. En effet, les quantités physiquement mesurables sont des probabilités ou des valeurs moyennes, qui s’expriment à partir de produits du type \(\mid \Psi \mid^{2}\ \)ou \(\langle\Psi \mid A \mid \Psi\rangle\). Or, un facteur de phase globale disparaît dans ces expressions, puisque
\[\mid e^{i\alpha}\Psi \mid^{2} = \mid \Psi \mid^{2}\]
Ainsi, aucune mesure ne permet de distinguer \(\mid \Psi\rangle\ \)de \(e^{i\alpha} \mid \Psi\rangle\).
Dans ce contexte, si une permutation des particules laisse invariantes toutes les observables du système, elle ne peut modifier l’état quantique que par un facteur de phase globale. On doit donc avoir
\[\mathbb{P}\text{ } \mid \Psi\rangle = e^{i\alpha}\text{ } \mid \Psi\rangle\ \ avec\ \alpha\ un\ nombre\ réel\ \]
Ceci traduit le fait que l’action du groupe des permutations sur les états physiques se réduit, pour les particules indiscernables, à une multiplication par une phase. Cette contrainte est à l’origine de la classification des états en fonctions d’onde symétriques ou antisymétriques.
On en déduit en effet que :
\[< \ \Psi\ ǀ\ \mathbb{P}^{\dagger}A\mathbb{\ P\ ǀ\ }\Psi\ > \ = \ < \ \Psi\ ǀ\ e^{- i\alpha}Ae^{i\alpha}\ ǀ\ \Psi\ > \ = \ \ < \ \Psi\ ǀ\ A\ \ ǀ\ \Psi\ > \ \]
Toute permutation \(\mathbb{P}\) peut se décomposer en un produit de permutations élémentaires \(\mathbb{P}_{ij}\) qui échange deux particules i et j. Or si on applique deux fois une permutation \(\mathbb{P}_{ij}\), on revient à l’état initial. On a :
\[{\mathbb{\ P}_{ij}}^{2}ǀ\ \Psi\ > \ = \ ǀ\ \Psi > \ \ d’où\ on\ déduit\ \ \ e^{2\alpha_{ij}} = 1\ \]
Il n’existe que deux solutions, soit \(e^{i\alpha_{ij}} = 1\), soit \(e^{i\alpha_{ij}} = – 1\). Dans le premier cas la fonction d’onde est inchangée par permutation, on dit qu’elle est symétrique, et dans le deuxième cas la fonction d’onde est dite antisymétrique.
On distingue alors deux types de particules liées à cette propriété de la fonction d’onde à n particules, les bosons, invariants par permutation et dont la fonction d’onde est symétrique, et les fermions dont la fonction d’onde est antisymétrique.
On va illustrer cette notion de symétrie / antisymétrie des fonctions d’onde par l’exemple d’un système de 2 particules discernables qui sont respectivement dans les états a et b caractérisés par les fonctions d’ondes \(\varphi_{a}\ \)et \(\varphi_{b}\).
Pour le système à deux particules, il existe deux états distincts :
\[\Psi_{I}\left( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}} \right) = \ \varphi_{a}\left( \overrightarrow{x_{1}} \right)\varphi_{b}\left( \overrightarrow{x_{2}} \right)\ \ et\ \Psi_{II}\left( \overrightarrow{x_{1}},\overrightarrow{x_{2}} \right) = \ \varphi_{a}\left( \overrightarrow{x_{2}} \right)\varphi_{b}\left( \overrightarrow{x_{1}} \right)\ \]
Pour des particules indiscernables, les fonctions d’onde à deux particules qui vérifient les conditions de symétrie sont des combinaisons linéaires de \(\Psi_{I}\) et \(\Psi_{II}\).
Pour les bosons, la fonction d’onde est symétrique, et on a :
\[\Psi_{Symétrique} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \Psi_{I} + \Psi_{II} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrack \varphi_{a}\left( \overrightarrow{x_{1}} \right)\varphi_{b}\left( \overrightarrow{x_{2}} \right) + \varphi_{a}\left( \overrightarrow{x_{2}} \right)\varphi_{b}\left( \overrightarrow{x_{1}} \right) \right\rbrack\]
Pour les fermions, la fonction d’onde est antisymétrique, et on a :
\[\Psi_{Antisymétrique} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \Psi_{I} – \Psi_{II} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left\lbrack \varphi_{a}\left( \overrightarrow{x_{1}} \right)\varphi_{b}\left( \overrightarrow{x_{2}} \right) – \varphi_{a}\left( \overrightarrow{x_{2}} \right)\varphi_{b}\left( \overrightarrow{x_{1}} \right) \right\rbrack\]
Cette construction met en évidence que l’espace des états physiques n’est pas le produit tensoriel complet des espaces à une particule, mais un sous-espace symétrique (pour les bosons) ou antisymétrique (pour les fermions). Dans le cas fermionique, l’antisymétrie implique immédiatement que si deux particules occupent le même état \(\varphi_{k}\), la fonction d’onde s’annule, ce qui fournit une démonstration directe du principe d’exclusion de Pauli.
Ceci peut être généraliser pour un système à n particules. Si on a une fonction d’onde \(\Psi\) d’un système à plusieurs particules, il suffit alors, pour le décrire, de définir le nombre de particules fermionique ou bosonique qui occupe chaque état de base \(\varphi_{k}\).
Un état \(\Psi\) à n particules peut donc être représenté de la façon suivante :
\[\Psi = \ ǀ\ n_{1},n_{2},\ \ldots,\ n_{k},\ \ldots > avec\ \sum_{k}^{}n_{k} = n\]
Le nombre \(\mathbf{n}_{\mathbf{k}}\) est ce qu’on appelle le nombre d’occupation de l’état \(\mathbf{\varphi}_{\mathbf{k}}\). Un point extrêmement important à noter est que pour les bosons, le nombre de particules présentes dans un état de base \(\varphi_{k}\ \)est quelconque (limité par n évidemment), alors que pour les fermions, du fait de l’antisymétrie de la fonction, il ne peut y avoir qu’un seul fermion au maximum dans cet état de base. Ceci se traduit pour \(n_{k}\) par :
\[Pour\ les\ bosons,\ 0 \leq n_{k} \leq n\ ;Pour\ les\ fermions\ n_{k} = 0\ ou\ 1\]
La description en termes de nombres d’occupation conduit naturellement à introduire l’espace de Fock, qui est une somme directe d’espaces à nombre de particules fixé. Dans ce cadre, les états sont décrits non plus par des fonctions d’onde symétrisées ou antisymétrisées explicites, mais par des vecteurs caractérisés par les entiers \(n_{k}\). Cette formulation est particulièrement adaptée à la théorie quantique des champs, où le nombre de particules peut varier.
Plus précisément, on construit l’espace de Fock à partir de l’espace de Hilbert \(\mathcal{H\ }\)des états à une particule. L’espace de Fock \(\mathcal{F}\) est défini comme la somme directe des espaces à \(n\ \)particules :
\[\mathcal{F =}\overset{\infty}{\bigoplus_{n = 0}}\mathcal{H}^{(n)}\]
Où \(\mathcal{H}^{(n)}\ \)désigne l’espace des états à \(n\ \)particules. Par convention, \(\mathcal{H}^{(0)\ }\)est l’espace des nombres complexes, correspondant à l’état vide, appelé état du vide et noté \(\mid 0\rangle\).
La structure de \(\mathcal{H}^{(n)}\ \)dépend de la nature des particules. Pour des bosons, \(\mathcal{H}^{(n)}\) est le sous-espace symétrique du produit tensoriel \(\mathcal{H}^{\otimes n}\), tandis que pour des fermions, il s’agit du sous-espace antisymétrique. Cette construction garantit automatiquement les propriétés de symétrie ou d’antisymétrie imposées par l’indiscernabilité.
Dans cette formulation, les états de base sont décrits par les nombres d’occupation \(\left( n_{1},n_{2},\ldots \right)\), où \(n_{k}\ \)indique le nombre de particules occupant l’état à une particule \(\varphi_{k}\). Un état général s’écrit alors
\[\mid \Psi\rangle = \mid n_{1},n_{2},\ldots\rangle\]
Ce qui fournit une description particulièrement économique du système, indépendamment de l’étiquetage des particules.
Cette structure permet également d’introduire naturellement les opérateurs de création et d’annihilation. Pour chaque état \(\varphi_{k}\), on définit un opérateur de création \(a_{k}^{\dagger}\), qui ajoute une particule dans cet état, et un opérateur d’annihilation \(a_{k}\), qui en retire une. Leur action sur les états de Fock est donnée par
\[{a_{k}^{\dagger} \mid n_{1},\ldots,n_{k},\ldots\rangle = \sqrt{n_{k} + 1}\text{ } \mid n_{1},\ldots,n_{k} + 1,\ldots\rangle, }{a_{k} \mid n_{1},\ldots,n_{k},\ldots\rangle = \sqrt{n_{k}}\text{ } \mid n_{1},\ldots,n_{k} – 1,\ldots\rangle}\]
La nature bosonique ou fermionique des particules se traduit dans les relations de commutation de ces opérateurs. Pour les bosons, on a des relations de commutation
\[\lbrack a_{k},a_{l}^{\dagger}\rbrack = \delta_{kl}\]
Tandis que pour les fermions, on a des relations d’anti-commutation
\[\{ a_{k},a_{l}^{\dagger}\} = \delta_{kl}\]
Ces dernières impliquent immédiatement que \(a_{k}^{\dagger \text{ }2} = 0\), ce qui interdit la présence de plus d’un fermion dans un même état, retrouvant ainsi le principe d’exclusion de Pauli.
Ainsi, l’espace de Fock fournit un cadre mathématique unifié permettant de décrire des systèmes à nombre variable de particules, tout en incorporant naturellement l’indiscernabilité et les propriétés statistiques des bosons et des fermions. Il constitue l’un des outils fondamentaux de la théorie quantique des champs, où les particules apparaissent comme des excitations quantifiées de champs sous-jacents.
En conclusion, l’indiscernabilité des particules impose une contrainte structurelle profonde sur la mécanique quantique : elle restreint l’espace des états physiques aux fonctions d’onde symétriques ou antisymétriques sous l’action du groupe des permutations. Cette dichotomie conduit à la distinction entre bosons et fermions, et elle est à l’origine de phénomènes fondamentaux tels que le principe d’exclusion de Pauli ou la condensation de Bose-Einstein.
Au-delà de ces conséquences physiques, cette propriété révèle un lien étroit entre la mécanique quantique et la théorie des groupes, en particulier le groupe symétrique et ses représentations. Elle prépare également le terrain pour des formulations plus avancées, notamment en théorie quantique des champs, où la notion de nombre d’occupation et l’espace de Fock permettent de traiter de manière unifiée les systèmes à nombre variable de particules.