Le spin constitue l’une des propriétés les plus fondamentales et les plus surprenantes des particules quantiques. Contrairement au moment cinétique orbital, qui est lié au mouvement spatial d’une particule, le spin est une propriété intrinsèque, sans analogue classique direct. Son introduction s’impose expérimentalement, notamment à travers l’expérience de Stern et Gerlach, qui met en évidence la quantification du moment magnétique des particules.
L’objectif de cet article est de présenter une modélisation mathématique du spin dans le cadre de la mécanique quantique, en utilisant le formalisme vectoriel et algébrique introduit par Dirac. Nous verrons que le spin peut être décrit à l’aide d’un espace vectoriel de dimension finie, et que les observables associées sont représentées par des opérateurs vérifiant des relations de commutation analogues à celles du moment cinétique.
Description de l’état quantique
Dans le cas d’une particule de spin \(1/2\), comme l’électron, l’espace des états de spin est un espace vectoriel complexe de dimension 2. On choisit une base orthonormée formée de deux états propres, que l’on note
\[\mid \Psi_{+}\rangle\ \text{et} \mid \Psi_{-}\rangle\]
Ces états correspondent aux deux résultats possibles d’une mesure du spin selon une direction donnée.
Un état quantique général est alors une combinaison linéaire de ces deux états :
\[\mid \Psi\rangle = \alpha \mid \Psi_{+}\rangle + \beta \mid \Psi_{-}\rangle,\ avec \mid \alpha \mid^{2} + \mid \beta \mid^{2} = 1\]
Cette relation exprime le principe de superposition, au cœur de la mécanique quantique. Les coefficients \(\alpha\ \)et \(\beta\ \)déterminent les probabilités d’obtenir les différentes valeurs du spin lors d’une mesure.
Cette interprétation probabiliste repose sur la structure hilbertienne de l’espace des états quantiques. L’état \(\mid \Psi\rangle\ \)étant normalisé,
\[\langle\Psi \mid \Psi\rangle = \mid \alpha \mid^{2} + \mid \beta \mid^{2} = 1\]
Les coefficients \(\alpha\ \)et \(\beta\ \)peuvent être interprétés comme des amplitudes de probabilité.
Lorsqu’on mesure l’observable associée à l’opérateur \({\widehat{S}}_{z}\), le système est projeté sur l’un des vecteurs propres de cet opérateur. La probabilité d’obtenir la valeur propre \(\frac{\hbar}{2}\ \)est donnée par le module carré du produit scalaire entre l’état \(\mid \Psi\rangle\ \)et le vecteur propre \(\mid \Psi_{+}\rangle\ \):
\[P\left( S_{z}=\frac{\hbar}{2} \right) = \mid \langle\Psi_{+} \mid \Psi\rangle \mid^{2} = \mid \alpha \mid^{2}\]
De même, la probabilité d’obtenir la valeur propre \(- \frac{\hbar}{2}\ \)est
\[P\left( S_{z} = – \frac{\hbar}{2} \right) = \mid \langle\Psi_{-} \mid \Psi\rangle \mid^{2} = \mid \beta \mid^{2}\]
Ces relations constituent une application directe du postulat de projection de la mécanique quantique. Elles montrent que les coefficients de décomposition de l’état dans la base propre de l’opérateur mesuré déterminent entièrement les probabilités des résultats de mesure.
Opérateurs de spin et quantification
On introduit les opérateurs de spin \({\widehat{S}}_{x}\), \({\widehat{S}}_{y}\), \({\widehat{S}}_{z}\), associés aux mesures du spin suivant les trois directions de l’espace. Ces opérateurs sont hermitiens, car ils représentent des observables physiques.
Le fait que les opérateurs de spin soient hermitiens découle directement des postulats de la mécanique quantique. En effet, toute grandeur physique mesurable (ou observable) est représentée par un opérateur hermitien \(\widehat{A}\), c’est-à-dire vérifiant
\[{\widehat{A}}^{\dagger} = \widehat{A}\]
Cette condition possède plusieurs conséquences fondamentales. Tout d’abord, les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont nécessairement réelles. Or, le résultat d’une mesure physique doit être un nombre réel, ce qui justifie cette exigence. Par exemple, pour l’opérateur \({\widehat{S}}_{z}\), les valeurs propres \(\pm \frac{\hbar}{2}\ \ \)sont bien réelles.
Ensuite, les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Cela permet de construire une base orthonormée de l’espace des états, dans laquelle tout état peut être décomposé. Cette propriété est essentielle pour l’interprétation probabiliste, car elle garantit que les probabilités associées aux différents résultats de mesure s’additionnent correctement.
Enfin, pour un état \(\mid \Psi\rangle\), la valeur moyenne (ou espérance) d’une observable \(\widehat{A\ }\)est donnée par
\[\langle\widehat{A}\rangle = \langle\Psi \mid \widehat{A} \mid \Psi\rangle\]
Cette expression est un nombre réel si \(\widehat{A}\ \)est hermitien. Cette cohérence mathématique renforce le fait que les opérateurs hermitiens sont les bons objets pour représenter les grandeurs physiques.
Ainsi, le choix de représenter les composantes du spin par des opérateurs hermitiens n’est pas arbitraire : il est imposé par la structure même de la mécanique quantique et par l’interprétation physique des mesures.
On choisit alors une direction privilégiée, que l’on note \((Oz)\), et on suppose que les états \(\mid \Psi_{+}\rangle\ \)et \(\mid \Psi_{-}\rangle\ \)sont des vecteurs propres de \({\widehat{S}}_{z}\ \):
\[{\widehat{S}}_{z} \mid \Psi_{+}\rangle = \frac{\hbar}{2} \mid \Psi_{+}\rangle,{\widehat{S}}_{z} \mid \Psi_{-}\rangle = – \frac{\hbar}{2} \mid \Psi_{-}\rangle\]
Ces deux valeurs propres correspondent aux deux résultats possibles de la mesure du spin le long de l’axe \(z\), en accord avec les observations expérimentales.
Ce choix d’une direction privilégiée ne constitue pas une restriction physique, mais un choix de commodité mathématique. En effet, l’espace est isotrope, c’est-à-dire qu’aucune direction n’est intrinsèquement privilégiée dans les lois de la physique. Cette invariance par rotation implique que les propriétés du système restent inchangées si l’on effectue une rotation de l’espace. Par conséquent, on peut toujours choisir un axe de référence, ici l’axe \((Oz)\), sans perte de généralité.
D’un point de vue mathématique, ce choix revient à diagonaliser l’un des opérateurs de spin, en l’occurrence \({\widehat{S}}_{z}\). Le théorème spectral garantit que tout opérateur hermitien admet une base de vecteurs propres orthonormés. En se plaçant dans cette base, les calculs sont simplifiés, car l’opérateur considéré agit de manière diagonale. Les autres composantes du spin, \({\widehat{S}}_{x}\ \)et \({\widehat{S}}_{y}\), ne sont alors plus diagonales dans cette base, ce qui reflète le fait que les observables correspondantes ne peuvent pas être mesurées simultanément avec \({\widehat{S}}_{z}\).
Ainsi, le choix de l’axe \((Oz)\ \)est à la fois un choix de repère lié à l’isotropie de l’espace et un choix de base adapté à la diagonalisation de l’opérateur de spin considéré.
Structure algébrique du spin
Le spin étant une forme de moment cinétique, ses opérateurs vérifient les mêmes relations de commutation que les opérateurs de moment cinétique orbital :
\[\lbrack{\widehat{S}}_{x},{\widehat{S}}_{y}\rbrack = i\hbar{\widehat{S}}_{z},\lbrack{\widehat{S}}_{y},{\widehat{S}}_{z}\rbrack = i\hbar{\widehat{S}}_{x},\lbrack{\widehat{S}}_{z},{\widehat{S}}_{x}\rbrack = i\hbar{\widehat{S}}_{y}\]
Dans la base \(\left\{ \mid \Psi_{+}\rangle, \mid \Psi_{-}\rangle \right\}\), ces opérateurs peuvent être représentés sous forme matricielle. On obtient :
\[{\widehat{S}}_{x} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},{\widehat{S}}_{y} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & – i \\ i & 0 \end{pmatrix},{\widehat{S}}_{z} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & – 1 \end{pmatrix}\]
Ces matrices sont précisément les matrices de Pauli \(\mathbf{\sigma}_{\mathbf{i}}\), et l’on peut écrire de manière compacte :
\[{\widehat{S}}_{i} = \frac{\hbar}{2}\sigma_{i}\]
L’opérateur de spin total est défini par
\[{\widehat{S}}^{2} = {\widehat{S}}_{x}^{2} + {\widehat{S}}_{y}^{2} + {\widehat{S}}_{z}^{2}\]
Et l’on vérifie que
\[{\widehat{S}}^{2} = \frac{3}{4}\hbar^{2}\]
Cela correspond à une particule de spin \(1/2\), puisque
\[S^{2} = s(s + 1)\hbar^{2} \Rightarrow s = \frac{1}{2}\]
Un point fondamental est que le choix de l’axe \(z\ \)est arbitraire. L’espace étant isotrope, aucune direction n’est privilégiée physiquement. Si l’on mesure le spin selon une autre direction, les valeurs propres restent toujours les mêmes, \(\pm \hbar/2\), mais les vecteurs propres changent.
Mathématiquement, cela se traduit par le fait que les opérateurs de spin forment une représentation de l’algèbre de Lie \(\mathfrak{su}(2)\), associée au groupe des rotations. Les différentes directions de mesure sont reliées par des transformations unitaires, qui correspondent à des rotations dans l’espace des états.
Conclusion
La modélisation mathématique du spin illustre de manière remarquable la puissance du formalisme quantique. À partir d’un espace vectoriel de dimension 2 et de quelques relations de commutation, on obtient une description complète d’une propriété intrinsèque des particules, confirmée expérimentalement.
Le spin apparaît ainsi comme une manifestation directe des symétries fondamentales de l’espace, et sa description s’inscrit naturellement dans le cadre des groupes et algèbres de Lie, en particulier \(SU(2)\). Cette structure mathématique joue un rôle central non seulement en mécanique quantique, mais aussi en théorie quantique des champs, où elle intervient dans la classification des particules et la description de leurs interactions.
Ainsi, loin d’être un simple ajout phénoménologique, le spin constitue un élément profondément enraciné dans la structure mathématique de la physique moderne.