Dans la description quantique des systèmes à plusieurs particules identiques, la représentation en termes de fonctions d’onde symétrisées ou antisymétrisées devient rapidement lourde à manipuler. L’introduction des espaces de Fock permet de reformuler entièrement le problème en termes de nombres d’occupation des états à une particule. Dans ce cadre, les opérateurs de création et d’annihilation jouent un rôle central : ils permettent de construire les états du système et de décrire les transitions entre ces états de manière algébrique.
Ces opérateurs ne sont pas de simples outils techniques ; ils constituent la structure fondamentale sur laquelle repose la théorie quantique des champs. Ils permettent de passer d’une description en termes de particules à une description en termes de champs quantifiés, où les particules apparaissent comme des excitations élémentaires. L’objectif de ce qui suit est de formaliser ces opérateurs, d’en étudier les propriétés et de montrer comment ils permettent d’exprimer les observables physiques.
Cas des bosons
On va maintenant introduire les opérateurs de création et d’annihilation dans le cas des bosons, c’est-à-dire de particules indiscernables dont la fonction d’onde est symétrique par permutation. Dans cette situation, un nombre arbitraire de particules peut occuper un même état quantique, ce qui se traduit naturellement dans la structure de l’espace de Fock. L’objectif est de construire des opérateurs agissant sur les états d’occupation, permettant de décrire l’ajout ou la suppression d’une particule dans un état donné. Ces opérateurs, appelés opérateurs d’échelle, constituent les briques élémentaires de la description algébrique des systèmes quantiques à nombre variable de particules.
On note \(\ \mathbf{a}_{\mathbf{k}}\) l’opérateur d’annihilation. D’un point de vue mathématique, on pose :
\[\ \ a_{k}\ ǀ\ldots,\ n_{k},\ \ldots > \ = \ \sqrt{n_{k}}\ ǀ\ldots,\ n_{k} – 1,\ \ldots > si\ n_{k} > 0\ et\ \ a_{k}\ ǀ\ldots,\ 0_{k},\ \ldots > \ = 0\ si\ n_{k} = 0\]
La deuxième relation traduit simplement le fait qu’on ne peut annihiler une particule qui n’existe pas.
On va noter \(ǀ\ n_{k} > \ \) un état quelconque de l’espace de Fock ayant un nombre \(n_{k}\) de particules dans l’état quantique \(\varphi_{k}\) d’une particule unique. Les états de base de l’espace de Fock étant par nature orthonormés, les seuls éléments non nuls de la matrice qui représente l’opérateur d’annihilation sont :
\[< n_{k} – 1ǀ\ a_{k}\ ǀ\ n_{k} > \ = \ \sqrt{n_{k}}\ < n_{k}\ ǀ\ n_{k} > \ = \ \sqrt{n_{k}}\]
En prenant le complexe conjugué de cette expression, on a :
\[\ {< n_{k} – 1ǀ\ \ a_{k}\ ǀ\ n_{k} >}^{\dagger}\ \ = \ < n_{k}\ ǀ\ {a_{k}}^{\dagger}\ ǀ\ n_{k} – 1 > \ \ = \ \sqrt{n_{k}}\]
Dans cette expression, le symbole \(\dagger\) (se prononce dague) représente le complexe conjugué de l’opérateur d’annihilation. En l’occurrence on voit que cet opérateur a la propriété d’augmenter le nombre de particules dans un état quantique donné. \({\mathbf{a}_{\mathbf{k}}\mathbf{\ }}^{\mathbf{\dagger}}\mathbf{\ }\)est l’opérateur de création et on a :
\({a_{k}}^{\dagger}\ ǀ\ n_{k} > \ \ = \ \sqrt{n_{k} + 1}\) \(ǀ\ n_{k} + 1 >\)
Considérons maintenant l’opérateur \({a_{k}}^{\dagger}a_{k}\) appliqué à l’état \(ǀ\ n_{k} > \ \) de l’espace de Fock.
\({a_{k}}^{\dagger}\ a_{k}\ ǀ\ n_{k} > \ \ = \ \sqrt{n_{k}}\) \(\ {a_{k}}^{\dagger}\ ǀ\ n_{k} – 1 > \ = \ n_{k}\ ǀ\ n_{k} > \ \ \ \)
L’opérateur \({\mathbf{a}_{\mathbf{k}}}^{\mathbf{\dagger}}\mathbf{\ }\mathbf{a}_{\mathbf{k}}\mathbf{\ }\)est donc diagonal, et ses valeurs propres sont les nombres d’occupation de l’état de Fock \(\mathbf{ǀ\ }\mathbf{n}_{\mathbf{k}}\mathbf{> .}\)
On introduit alors naturellement l’opérateur nombre associé à l’état \(\varphi_{k}\), défini par :
\[{\widehat{N}}_{k} = a_{k}^{\dagger}a_{k}\]
Cet opérateur est hermitien et agit diagonalement sur les états de Fock :
\[{\widehat{N}}_{k} \mid \ldots,n_{k},\ldots\rangle = n_{k} \mid \ldots,n_{k},\ldots\rangle\]
Il mesure donc le nombre de particules occupant l’état \(\varphi_{k}\). Cette propriété justifie l’interprétation physique des nombres d’occupation comme observables quantiques.
Si on prend maintenant un état quelconque \(ǀ\ \Psi > \ \)de l’espace de Fock à n particules, la quantité \(< \Psi{\ ǀ{\ \ a}_{k}}^{\dagger}\ a_{k}\ ǀ\ \Psi >\) désigne le nombre moyen de particules se trouvant dans l’état \(\varphi_{k}\).
Les opérateurs de création et d’annihilation satisfont des relations algébriques fondamentales qui traduisent la nature des particules considérées. Dans le cas des bosons, ces opérateurs vérifient les relations de commutation :
\[\lbrack a_{k},a_{l}^{\dagger}\rbrack = \delta_{kl},\lbrack a_{k},a_{l}\rbrack = \lbrack a_{k}^{\dagger},a_{l}^{\dagger}\rbrack = 0\]
Dans le cas des fermions, ils vérifient au contraire des relations d’anti-commutation :
\[\{ a_{k},a_{l}^{\dagger}\} = \delta_{kl},\{ a_{k},a_{l}\} = \{ a_{k}^{\dagger},a_{l}^{\dagger}\} = 0\]
Ces relations sont à l’origine des statistiques quantiques de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac, et elles encodent directement les propriétés de symétrie ou d’antisymétrie des fonctions d’onde.
Ainsi, les opérateurs de création et d’annihilation fournissent une description particulièrement simple et efficace des systèmes bosoniques. Ils permettent de construire les états de l’espace de Fock, de définir des observables comme le nombre de particules, et d’exprimer les relations fondamentales de commutation qui caractérisent les statistiques de Bose-Einstein. Cette structure algébrique joue un rôle central en physique quantique, et elle constitue le point de départ naturel pour la quantification des champs, où les particules apparaissent comme des excitations quantifiées de modes élémentaires.
Cas des fermions
On considère maintenant le cas des fermions, en gardant à l’esprit la propriété fondamentale qui les caractérise : le principe d’exclusion de Pauli, selon lequel un état quantique donné ne peut être occupé que par au plus une particule. Les nombres d’occupation associés à un état \(\varphi_{k}\ \)ne peuvent donc prendre que les valeurs \(n_{k} = 0\ \)ou \(n_{k} = 1\).
Comme dans le cas bosonique, on introduit des opérateurs d’annihilation \(a_{k\ }\)et de création \(a_{k}^{\dagger}\) agissant sur les états de Fock. Leur action sur les états d’occupation s’écrit :
\[{a_{k}\text{ } \mid \text{ }\ldots,n_{k},\ldots\rangle = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si }n_{k} = 0, \\ \left( – 1)^{\delta_{k}}\text{ } \mid \text{ }\ldots,0_{k},\ldots \right\rangle & \text{si }n_{k} = 1, \end{matrix} \right.\ }{a_{k}^{\dagger}\text{ } \mid \text{ }\ldots,n_{k},\ldots\rangle = \left\{ \begin{matrix} \left( – 1)^{\delta_{k}}\text{ } \mid \text{ }\ldots,1_{k},\ldots \right\rangle & \text{si }n_{k} = 0, \\ 0 & \text{si }n_{k} = 1, \end{matrix} \right.\ }\]
Où le facteur de signe \(\left( \ -1)^{\delta_{k}}\ \right.\ \)est défini par
\[\delta_{k} = \sum_{i < k}^{}n_{i}\]
Ce facteur encode le caractère antisymétrique de la fonction d’onde fermionique. Il dépend du nombre de particules présentes dans les états d’indice inférieur à \(k\), et traduit le fait que l’échange de deux fermions introduit un signe négatif. Cette dépendance à l’ordre reflète la structure profonde de l’espace de Fock fermionique, qui est construit comme un produit antisymétrisé des espaces à une particule.
Les opérateurs de création et d’annihilation fermioniques satisfont des relations d’anti-commutation fondamentales :
\[\{ a_{k},a_{l}^{\dagger}\} = \delta_{kl},\{ a_{k},a_{l}\} = 0,\{ a_{k}^{\dagger},a_{l}^{\dagger}\} = 0\]
Ces relations impliquent immédiatement que
\[\left( a_{k}^{\dagger})^{2}=0 \right.,\]
Ce qui signifie qu’il est impossible de créer deux fois une particule dans le même état quantique. On retrouve ainsi, de manière purement algébrique, le principe d’exclusion de Pauli.
On introduit également, comme dans le cas bosonique, l’opérateur nombre
\[{\widehat{N}}_{k} = a_{k}^{\dagger}a_{k}, \]
Il vérifie
\[{\widehat{N}}_{k}\text{ } \mid \text{ }\ldots,n_{k},\ldots\rangle = n_{k}\text{ } \mid \text{ }\ldots,n_{k},\ldots\rangle\]
Les valeurs propres de cet opérateur étant limitées à \(0\ \)ou \(1\), cela reflète directement la nature fermionique des particules.
Enfin, on notera que la structure algébrique des opérateurs fermioniques diffère profondément de celle des opérateurs bosoniques. Là où ces derniers satisfont des relations de commutation, les fermions obéissent à des relations d’anti-commutation, ce qui entraîne des propriétés statistiques radicalement différentes. Cette distinction est à l’origine de comportements physiques fondamentaux, comme la structure des couches électroniques dans les atomes ou la stabilité de la matière.
Expression des observables à partir des opérateurs d’échelle
Dans le formalisme de l’espace de Fock, tout état physique du système peut être construit à partir de l’état du vide \(\mid 0\rangle\), qui ne contient aucune particule, par application successive des opérateurs de création. Plus précisément, un état d’occupation donné s’écrit :
\[\mid n_{1},n_{2},\ldots,n_{k},\ldots\rangle = \prod_{k}^{}\frac{\left( a_{k}^{\dagger})^{n_{k}} \right.\ }{\sqrt{n_{k}!}}\text{ } \mid 0\rangle\]
Dans le cas bosonique, tandis que dans le cas fermionique, la condition \(n_{k} = 0\ \)ou \(1\)et les relations d’anticommutation assurent automatiquement la construction correcte des états.
Les états d’occupation \(\mid i\rangle = \mid n_{1},n_{2},\ldots\rangle\ \)forment une base orthonormée de l’espace de Fock. Par conséquent, tout état général \(\mid \Psi\rangle\ \)peut s’écrire comme une combinaison linéaire de ces états :
\[\mid \Psi\rangle = \sum_{i}^{}\alpha_{i}\text{ } \mid i\rangle\]
Où les coefficients \(\alpha_{i\ }\)vérifient la condition de normalisation \(\sum_{i}^{} \mid \alpha_{i} \mid^{2} = 1\).
Dans ce cadre, toute observable physique est représentée par un opérateur \(\widehat{A}\ \)agissant sur l’espace de Fock. Les éléments de matrice de cet opérateur s’écrivent :
\[\langle\Psi’ \mid \widehat{A} \mid \Psi\rangle = \sum_{i,j}^{}\alpha_{i}^{‘*}\alpha_{j}\langle i \mid \widehat{A} \mid j\rangle\]
Or, le passage d’un état d’occupation \(\mid i\rangle\ \)à un autre \(\mid j\rangle\ \)correspond nécessairement à la création ou à l’annihilation de particules dans certains états quantiques. Il en résulte que tout opérateur \(\widehat{A\ }\)peut s’exprimer comme une combinaison de produits d’opérateurs de création et d’annihilation. Autrement dit, \(\widehat{A}\ \)peut toujours s’écrire comme un polynôme (ou plus généralement une série) en \(a_{k}\ \)et \(a_{k}^{\dagger}\).
Un exemple fondamental est celui de l’opérateur nombre
\[{\widehat{N}}_{k} = a_{k}^{\dagger}a_{k},\]
Il mesure le nombre de particules occupant l’état \(\varphi_{k}\). De manière plus générale, de nombreuses observables physiques importantes s’expriment sous forme bilinéaire en les opérateurs de création et d’annihilation.
En particulier, dans le cas d’un système de particules indépendantes, l’Hamiltonien du système s’écrit comme la somme des Hamiltoniens à une particule. Si l’on note \(E_{k}\ \)les valeurs propres de l’énergie à une particule, on obtient :
\[\widehat{H} = \sum_{k}^{}E_{k}\text{ }a_{k}^{\dagger}a_{k}\]
Cette expression montre que l’énergie totale du système est obtenue en sommant les contributions de chaque mode, pondérées par leur nombre d’occupation.
Cette formulation permet de comprendre de manière simple la différence entre bosons et fermions dans leur état fondamental. Pour les bosons, toutes les particules peuvent occuper le même état de plus basse énergie, ce qui conduit à une énergie totale
\[E_{\text{bosons}} = n\text{ }E_{0}\]
En revanche, pour les fermions, le principe d’exclusion impose que les particules occupent des états distincts. L’état fondamental correspond alors au remplissage successif des niveaux d’énergie les plus bas, ce qui donne
\[E_{\text{fermions}} = \sum_{k = 1}^{n}E_{k}\]
Ainsi, les opérateurs de création et d’annihilation permettent non seulement de construire les états du système, mais aussi d’exprimer de manière compacte et naturelle l’ensemble des observables physiques. Ils constituent le langage fondamental dans lequel s’exprime la théorie quantique des champs, où les particules apparaissent comme des excitations élémentaires des modes quantifiés.
Conclusion
Les opérateurs de création et d’annihilation fournissent ainsi une formulation particulièrement élégante et puissante de la mécanique quantique des systèmes à plusieurs particules. Ils permettent de construire l’ensemble des états de l’espace de Fock à partir du vide, de décrire les transitions entre états et d’exprimer les observables sous une forme algébrique compacte.
Au-delà de leur utilité technique, ces opérateurs révèlent une structure profonde de la théorie : la distinction entre bosons et fermions se traduit directement dans les relations de commutation qu’ils satisfont, et les propriétés statistiques des particules émergent naturellement de cette structure algébrique. Cette formulation constitue le point de départ de la théorie quantique des champs, où les opérateurs de création et d’annihilation deviennent les briques élémentaires décrivant la dynamique des champs et des interactions fondamentales.