Le calcul différentiel classique permet d’étudier les extrema de fonctions dépendant d’un nombre fini de variables. Cependant, de nombreux problèmes en mathématiques et en physique ne consistent pas à optimiser une quantité dépendant de quelques variables, mais plutôt une quantité associée à une fonction entière, c’est-à-dire à une infinité de degrés de liberté. C’est précisément dans ce cadre que s’inscrit le calcul variationnel.
L’idée fondamentale est la suivante : au lieu de chercher un minimum ou un maximum d’une fonction \(f(x)\), on cherche à déterminer une fonction \(u(x)\)qui minimise (ou rend stationnaire) une quantité appelée fonctionnelle, généralement de la forme
\[F(u) = \int_{x_{A}}^{x_{B}}{L(u(x),}u'(x),x)\text{ }dx\]
Ce type de problème apparaît naturellement dans de nombreux contextes. En mécanique, il intervient dans la formulation du principe de moindre action ; en optique, il est à la base du principe de Fermat ; en géométrie, il permet de caractériser les géodésiques comme des courbes de longueur minimale. Dans chacun de ces cas, la trajectoire ou la fonction recherchée n’est pas donnée explicitement, mais doit être déterminée comme solution d’un problème d’optimisation global.
Historiquement, ces questions ont émergé à la fin du 17ème siècle avec des problèmes célèbres tels que celui de la brachistochrone. Les premières méthodes reposaient souvent sur des arguments géométriques ou physiques. Toutefois, c’est avec les travaux de Joseph-Louis Lagrange que le calcul variationnel a acquis une formulation systématique et rigoureuse. L’idée centrale consiste à étudier la variation d’une fonctionnelle lorsqu’on perturbe légèrement la fonction considérée, et à en déduire une condition nécessaire d’optimalité.
Cette démarche conduit naturellement à une équation différentielle satisfaite par les fonctions extrémales : l’équation d’Euler-Lagrange. Celle-ci joue un rôle fondamental, car elle transforme un problème global d’optimisation en une condition locale sous forme d’équation différentielle. L’objectif de cet article est de présenter cette construction dans un cadre simple, en mettant en évidence les idées essentielles qui conduisent à cette équation.
Considérons la courbe optimale du problème que l’on va noter u(x), et une courbe proche de cette courbe optimale que l’on va noter u(x)+h*v(x), avec h tendant vers zéro. La courbe u(x) étant la courbe qui minimise F(u), on a nécessairement :
\[F(u + hv) \geq F(u)\ pour\ toute\ fonction\ v(x)\]
D’où on déduit que :
\[\frac{F(u + hv) – F(u)}{h} \geq 0\ pour\ h > 0\ et\ \frac{F(u + hv) – F(u)}{h} \leq 0\ pour\ h < 0\ \]
En supposant que la limite existe, on a alors nécessairement :
\[{\lim_{h \rightarrow 0}\ }{\frac{F(u + hv) – F(u)}{h} = 0\ \ ce\ qu’on\ écrit\ :\ \frac{\delta F}{\delta u}(u) = o\ }\]
Où cette dernière notation qui correspond à ce qu’on appelle une dérivée fonctionnelle a été introduite par Lagrange. On peut écrire :
\[\delta F = F(u + hv) – F(u) = \ \int_{x_{A}}^{x_{B}}{\ L\ \left( u(x) + hv(x),\ u'(x) + hv'(x) \right)\ dx} – \int_{x_{A}}^{x_{B}}{\ L\ \left( u(x),\ u'(x) \right)\ dx}\ \]
Le facteur h étant petit, on peut opérer un développement limité du premier ordre, on a :
\[\delta F\ \cong \int_{x_{A}}^{x_{B}}{\ \frac{dL}{d\alpha}\ \left( u(x),\ u'(x) \right)\ hv(x)\ dx} + \int_{x_{A}}^{x_{B}}{\frac{dL}{d\beta}\left( u(x),\ u'(x) \right)hv'(x)dx}\ \]
On fait alors une intégration par partie pour se débarrasser du terme en \(v'(x)\). Par construction, pour que la courbe u(x)+h*v(x) relie les deux points, la fonction v(x) doit nécessairement être nulle aux deux extrémités. Dans l’intégration par partie, les termes de bord sont donc nuls. On obtient alors :
\[\delta F\ \cong h\int_{x_{A}}^{x_{B}}{\left( \ \frac{dL}{d\alpha}\ \left( u(x),\ u'(x) \right) – \left( \frac{dL}{d\beta}\ u(x),\ u'(x) \right)’\ \right)v(x)\ dx}\]
L’expression \(\delta F = 0\) doit être valable pour tout fonction \(v(x)\), on en déduit que la parenthèse dans l’intégrale est forcément nulle et on trouve la fameuse équation d’Euler-Lagrange :
\[\frac{\mathbf{dL}}{\mathbf{d\alpha}}\left( \mathbf{u}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{,\ }\mathbf{u}^{\mathbf{‘}}\left( \mathbf{x} \right) \right)\mathbf{-}\left( \frac{\mathbf{dL}}{\mathbf{d\beta}}\left( \mathbf{u}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{,}\mathbf{u}^{\mathbf{‘}}\left( \mathbf{x} \right) \right) \right)^{\mathbf{‘}}\mathbf{= 0\ avec\ L = L}\left( \mathbf{\alpha,\beta} \right)\]
La démarche introduite par Lagrange permet de franchir une étape conceptuelle majeure : elle transforme un problème d’optimisation portant sur des fonctions en une équation différentielle locale. L’équation d’Euler-Lagrange obtenue constitue ainsi une condition nécessaire pour qu’une fonction réalise un extremum de la fonctionnelle considérée. Elle joue un rôle analogue à celui de l’annulation de la dérivée dans le calcul différentiel classique, mais dans un cadre infiniment dimensionnel.
Au-delà de sa dérivation formelle, cette équation possède une portée considérable. Elle intervient dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, où elle permet de caractériser les trajectoires ou les configurations optimales. En mécanique analytique, elle conduit aux équations du mouvement ; en géométrie différentielle, elle décrit les géodésiques ; en théorie des champs, elle est au cœur des équations fondamentales de la physique.
Il convient toutefois de souligner que l’équation d’Euler-Lagrange fournit en général une condition nécessaire, mais non suffisante, d’optimalité. L’étude complète des extrema nécessite souvent des outils complémentaires, notamment pour distinguer minima, maxima et points selles.
Ainsi, le calcul variationnel apparaît comme un cadre unificateur, permettant de relier des problèmes variés à une structure mathématique commune. L’équation d’Euler-Lagrange en constitue l’un des piliers, et ouvre la voie à des développements plus avancés, tels que les problèmes avec contraintes, les conditions aux limites plus générales, ou encore les formulations modernes en théorie des distributions et des espaces fonctionnels.