La mécanique classique s’est d’abord construite autour des lois de Isaac Newton, qui permettent de décrire le mouvement des corps à partir des forces qui s’exercent sur eux. Cette approche, dite newtonienne, repose sur une vision locale de la dynamique : à chaque instant, l’accélération d’un système est déterminée par la somme des forces appliquées. Bien qu’extrêmement efficace, cette formulation ne met pas toujours en évidence les structures profondes des lois physiques.
À la fin du 17ème siècle, Joseph-Louis Lagrange propose une reformulation radicalement différente de la mécanique. Plutôt que de raisonner en termes de forces, il introduit une approche fondée sur des grandeurs scalaires, les énergies, et sur un principe variationnel global : le principe de moindre action. Au cœur de cette formulation apparaît une quantité fondamentale, le Lagrangien, dont la nature mérite d’être éclaircie.
L’objectif de cet article est de comprendre l’origine et la signification du Lagrangien dans le cadre le plus simple : celui du mouvement d’un point matériel soumis à la pesanteur. Nous montrerons comment, à partir des lois de Newton et de la notion d’énergie, on est conduit naturellement à introduire la différence entre énergie cinétique et énergie potentielle, et comment cette combinaison permet de reformuler les équations du mouvement sous la forme de l’équation d’Euler-Lagrange.
Au début des années 1780, deux éléments essentiels sont déjà bien établis. D’une part, les lois de Newton décrivent le mouvement d’un corps soumis à une force :
\[m\overrightarrow{a} = \sum\overrightarrow{F}\]
D’autre part, la notion d’énergie cinétique, appelée à l’époque “force vive”, est connue et s’écrit :
\[T = \frac{1}{2}mv^{2}\]
L’idée clé introduite par Lagrange consiste à supposer que certaines forces, en particulier la pesanteur, dérivent d’un potentiel. Autrement dit, il existe une fonction \(V(x)\), appelée énergie potentielle, telle que la force s’écrive :
\[F = – \frac{dV}{dx}\]
Cette hypothèse permet de reformuler l’équation de Newton sous la forme :
\[m\frac{dv}{dt} = – \frac{dV}{dx}\]
Lagrange remarque alors que le terme de gauche peut être réécrit en faisant apparaître l’énergie cinétique. En effet,
\[mv = \frac{d}{dv}\left( \frac{1}{2}mv^{2} \right) = \frac{dT}{dv}\]
D’où
\[\frac{d}{dt}(mv) = \frac{d}{dt}\left( \frac{dT}{dv} \right)\]
L’équation de Newton devient ainsi
\[\frac{d}{dt}\left( \frac{dT}{dv} \right) + \frac{dV}{dx} = 0\]
Cette écriture suggère naturellement d’introduire une nouvelle grandeur, le Lagrangien, défini par :
\[L = T – V\]
En effet, dans ce cas particulier, on vérifie que
\[\frac{\partial L}{\partial v} = \frac{dT}{dv}\ et\ \frac{\partial L}{\partial x} = – \frac{dV}{dx}\]
L’équation précédente peut alors se réécrire sous la forme
\[\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial v} \right) – \frac{\partial L}{\partial x} = 0\]
Qui n’est autre que l’équation d’Euler-Lagrange appliquée au mouvement du point matériel.
Ainsi, l’équation fondamentale de la dynamique newtonienne apparaît comme un cas particulier d’un principe beaucoup plus général. Plutôt que de décrire l’évolution du système à partir des forces, la mécanique analytique consiste à déterminer la trajectoire qui rend stationnaire une quantité appelée action, définie par
\[A = \int_{t_{1}}^{t_{2}}{L\text{ }dt}\]
La dynamique du système est alors entièrement contenue dans le choix du Lagrangien.
L’introduction de l’énergie potentielle et du Lagrangien marque une étape décisive dans l’évolution de la mécanique. En passant d’une description fondée sur les forces à une formulation basée sur les énergies, Lagrange met en évidence une structure plus profonde des lois du mouvement. Le Lagrangien, défini comme la différence entre énergie cinétique et énergie potentielle, n’apparaît plus comme une construction arbitraire, mais comme la combinaison naturelle permettant de reformuler les équations de Newton sous une forme variationnelle.
Cette reformulation présente plusieurs avantages majeurs. Elle permet tout d’abord de traiter de manière unifiée des systèmes complexes, notamment en présence de contraintes. Elle met également en lumière des symétries fondamentales, qui joueront un rôle central dans les développements ultérieurs de la physique. Enfin, elle ouvre la voie à des généralisations profondes, en particulier en mécanique analytique et en théorie des champs.
Ainsi, le Lagrangien ne doit pas être vu uniquement comme une différence formelle entre deux énergies, mais comme la quantité centrale d’une formulation globale de la physique, dans laquelle les trajectoires ne sont plus déterminées localement par des forces, mais globalement par un principe d’optimalité.
Encadré historique : de la « Force vive » à l’énergie potentielle
La notion d’énergie, aujourd’hui centrale en physique, ne s’est pas imposée immédiatement sous sa forme moderne. Au 17ème et 18ème siècles, les physiciens disposent de concepts partiels et parfois concurrents pour décrire les phénomènes mécaniques. L’un des plus importants est celui de force vive, introduit et défendu notamment par Gottfried Wilhelm Leibniz, et correspondant à la grandeur \(mv^{2}\), que l’on identifie aujourd’hui (à un facteur \(1/2\ \)près) à l’énergie cinétique.
Parallèlement, les travaux de Isaac Newton introduisent la notion de force et permettent de décrire le mouvement à partir d’équations différentielles locales. Toutefois, cette approche ne s’accompagne pas encore d’une vision globale en termes d’énergie. Les idées de travail et de conservation émergent progressivement au 18ème siècle, notamment dans l’étude des machines et des systèmes mécaniques.
C’est dans ce contexte que Joseph-Louis Lagrange introduit, à la fin du 18ème siècle, des fonctions dont dérivent les forces, que l’on appelle aujourd’hui potentiels. Dans sa Mécanique analytique (1788), il reformule la dynamique sans faire intervenir explicitement les forces, mais en utilisant des fonctions scalaires dépendant des positions et des vitesses. Toutefois, Lagrange ne parle pas encore d’« énergie potentielle » au sens moderne : le concept est présent sur le plan mathématique, mais son interprétation physique reste implicite.
Il faut attendre le 19ème siècle pour que la notion d’énergie prenne sa forme actuelle, dans le cadre de la thermodynamique naissante et des travaux sur la conservation de l’énergie. C’est dans ce contexte que William John Macquorn Rankine introduit explicitement, en 1853, le terme d’énergie potentielle dans son article On the General Law of the Transformation of Energy. Il propose alors de distinguer l’énergie actuelle (liée au mouvement, aujourd’hui appelée énergie cinétique) et l’énergie potentielle, associée à la position d’un système dans un champ de forces.
Cette clarification terminologique et conceptuelle marque une étape essentielle : elle permet d’unifier des phénomènes variés sous le principe de conservation de l’énergie, et donne un sens physique précis aux fonctions de potentiel déjà utilisées en mécanique analytique. Le Lagrangien \(L = T – V\), introduit par Lagrange avant même que le mot “énergie potentielle” n’existe, apparaît ainsi rétrospectivement comme une combinaison fondamentale de deux formes d’énergie, dont la signification physique ne sera pleinement comprise que plusieurs décennies plus tard.