Le problème de la brachistochrone constitue l’un des jalons fondateurs du calcul des variations. Formulé à la fin du 17ème siècle par Johann Bernoulli, il consiste à déterminer la courbe reliant deux points, non alignés verticalement, le long de laquelle une particule soumise à la pesanteur atteint le second point en un temps minimal. Ce problème, en apparence simple, a suscité un intérêt considérable car il met en défaut l’intuition géométrique : la trajectoire la plus rapide n’est ni la ligne droite, ni un arc de cercle.
Le défi lancé par Bernoulli a attiré les plus grands mathématiciens de l’époque, parmi lesquels Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz et Christiaan Huygens. Les premières solutions reposaient sur des analogies physiques, notamment avec la propagation de la lumière et le principe de Fermat, établissant un lien profond entre optique et mécanique. Ces approches permettaient déjà d’identifier la solution comme étant une cycloïde, sans toutefois fournir un cadre systématique pour traiter des problèmes analogues.
C’est dans ce contexte que Joseph-Louis Lagrange a développé une méthode générale fondée sur la variation des fonctions, qui permet de formuler rigoureusement ce type de problème comme une recherche d’extremum d’une intégrale. L’objectif de cet article est de présenter cette approche dans le cas de la brachistochrone, en mettant en évidence la structure variationnelle du problème et l’équation différentielle qui en résulte.
On note y=f(x) la courbe que l’on recherche. Un déplacement infinitésimal sur cette courbe s’exprime par :
\[ds = \ \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}} = \sqrt{\left( 1 + {y’}^{2} \right)}\ dx\]
Par ailleurs, la conservation de l’énergie de la particule, initialement au repos conduit à la relation suivante (on considère que le point de départ est à l’altitude zéro) :
\[\frac{1}{2}mv^{2} = mgy\ d’où\ v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{2gy}\]
Les spécialistes auront noté que j’ai fait un raccourci, dans la mesure où l’énergie potentielle n’était pas une notion connue à cette époque, ou du moins pas aussi clairement. On peut cependant en déduire qu’on peut exprimer le temps de parcours élémentaire de la particule par :
\[dt = \ \sqrt{\frac{1 + {y’}^{2}}{2gy}}\ dx\]
Et le temps total de parcours est donné par :
\[Temps\ de\ parcours = \ \int_{x_{A}}^{x_{B}}{\sqrt{\frac{1 + {y’}^{2}}{2gy}}\ dx}\]
Pour résoudre le problème de la brachistochrone, il faut donc trouver la fonction y=f(x) qui minimise l’expression :
\[y\ \rightarrow \ \int_{x_{A}}^{x_{B}}{\sqrt{\frac{1 + {y’}^{2}}{2gy}}\ dx}\ \]
Lagrange introduit une méthode générale consistant à considérer non plus une seule courbe candidate \(y = f(x)\), mais une famille de courbes voisines obtenues par une perturbation infinitésimale de la forme \(y(x) + \varepsilon\eta(x)\), où \(\eta(x)\ \)est une fonction arbitraire s’annulant aux extrémités et \(\varepsilon\)un paramètre réel infinitésimal. Il s’agit alors d’étudier la variation du fonctionnel associé au temps de parcours lorsque l’on fait varier la courbe, et d’imposer que cette variation soit nulle au premier ordre pour la courbe réalisant le minimum.
Cette condition conduit à annuler la dérivée du fonctionnel par rapport au paramètre \(\varepsilon\)en \(\varepsilon = 0\), ce qui, après un calcul reposant sur une intégration par parties, permet d’obtenir une condition nécessaire vérifiée par la fonction \(y(x)\). Cette condition prend la forme d’une équation différentielle appelée équation d’Euler-Lagrange, qui s’écrit dans le cas général :
\[\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{dx}}\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathcal{L}}{\mathbf{\partial}\mathbf{y}^{\mathbf{‘}}} \right)\mathbf{-}\frac{\mathbf{\partial}\mathcal{L}}{\mathbf{\partial}\mathbf{y}}\mathbf{= 0\ }\]
Où \(\mathcal{L(}y,y’,x)\ \)désigne la fonction sous le signe intégral. La résolution de cette équation fournit alors les courbes candidates réalisant l’extremum du temps de parcours.
Le développement de cette équation dans le cas du problème de la brachistochrone conduit à une équation différentielle satisfaite par la courbe y=f(x) :
\[\left( 1 + {y’}^{2} \right)\ y = Constante\]
Pour ceux que cela intéresse, il s’agit de l’équation d’une cycloïde, résultat qui avait été trouvé par d’autres méthodes entre autres par Bernoulli.
L’approche présentée met en lumière la puissance de la méthode variationnelle introduite par Lagrange. En reformulant le problème de la brachistochrone comme une minimisation d’un temps de parcours exprimé sous forme intégrale, on obtient, via l’équation d’Euler-Lagrange, une condition différentielle caractérisant les trajectoires optimales. Cette démarche dépasse largement le cadre particulier de la brachistochrone et constitue le fondement d’une branche entière des mathématiques et de la physique.
Le fait que la solution soit une cycloïde, déjà identifiée par des méthodes géométriques ou physiques, prend ici une signification plus profonde : elle apparaît comme la conséquence directe d’un principe d’optimalité. Ce résultat illustre l’unité des approches en physique et en mathématiques, où des problèmes issus de contextes différents peuvent être traités à l’aide d’outils conceptuels communs.
Plus généralement, le problème de la brachistochrone annonce le développement de la mécanique analytique et du principe de moindre action, dans lesquels les trajectoires physiques sont déterminées par des propriétés variationnelles. Il constitue ainsi une étape essentielle dans la compréhension moderne des lois de la nature, où l’évolution des systèmes est décrite non plus seulement par des équations locales, mais par des principes globaux d’extremum.