La formulation lagrangienne de la mécanique permet de décrire l’évolution d’un système à partir d’un principe variationnel, conduisant aux équations d’Euler-Lagrange. Cette approche, introduite par Joseph-Louis Lagrange, présente l’avantage de s’affranchir des forces pour mettre en avant le rôle des énergies et des coordonnées généralisées. Elle constitue déjà une reformulation profonde de la mécanique newtonienne.
Cependant, cette formulation peut elle-même être transformée pour faire apparaître une structure encore plus riche. L’idée consiste à ne plus considérer uniquement les coordonnées généralisées et leurs dérivées temporelles, mais à introduire de nouvelles variables, les impulsions généralisées, et à reformuler la dynamique comme un système d’équations différentielles du premier ordre. Cette transition conduit à ce que l’on appelle la formulation canonique de la mécanique.
C’est dans ce cadre que s’inscrit le passage du Lagrangien à une nouvelle fonction fondamentale, l’Hamiltonien, introduit par William Rowan Hamilton. Cette transformation, appelée transformation de Legendre, permet de remplacer la dépendance en vitesses par une dépendance en impulsions, et de réécrire les équations du mouvement sous une forme symétrique particulièrement élégante.
L’objectif de cet article est de montrer comment, à partir des équations d’Euler-Lagrange appliquées à un système à plusieurs degrés de liberté, on peut introduire les impulsions généralisées et construire l’Hamiltonien. Nous verrons alors que cette construction conduit naturellement à un système d’équations différentielles du premier ordre, appelées équations canoniques, qui offrent une nouvelle lecture de la dynamique et jouent un rôle fondamental dans les développements ultérieurs de la physique théorique.
On considère un système constitué de N corps avec \(l\) degrés de liberté. On note \(\mathbf{q}_{\mathbf{k}}\) et \(\dot{\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}\) respectivement les coordonnées généralisées et les impulsions généralisées. A noter, comme on l’a vu dans l’exemple du pendule double, que la coordonnée généralisée n’a pas forcément les dimensions d’une position et que l’impulsion généralisée n’a pas forcément les dimensions d’une impulsion.
Les coordonnées généralisées étant indépendantes les unes des autres on a la relation :
\[\frac{\mathbf{\partial}\mathbf{q}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{q}_{\mathbf{j}}}\mathbf{=}\mathbf{\delta}_{\mathbf{ij}}\ où\ \delta_{ij}\ est\ le\ symbôle\ de\ Kronecker\ \left( \delta_{ij} = 1si\ i = j\ et\ \delta_{ij} = 0\ si\ i \neq j \right)\]
On va dans un premier temps voir pourquoi on peut écrire une équation d’Euler-Lagrange pour chaque degré de liberté du système :
\[\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{dt}}\frac{\mathbf{\partial L}}{\mathbf{\partial}\dot{\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}}\left( \mathbf{q}_{\mathbf{k}}\mathbf{,}\dot{\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}\mathbf{,t} \right)\mathbf{- \ }\frac{\mathbf{\partial L}}{\mathbf{\partial}\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}\left( \mathbf{q}_{\mathbf{k}}\mathbf{,}\dot{\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}\mathbf{,t} \right)\mathbf{= 0\ pour\ tout\ 1 \leq k \leq l\ }\]
L’énergie cinétique d’un système à N corps, que l’on notera \(T\) s’écrit :
\[T = \sum_{i = 1}^{N}{\ \frac{1}{2}{\ m}_{i\ }\left( \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} \right)^{2}}\]
La masse de chaque corps étant indépendante des coordonnées généralisées, on peut écrire :
\[\frac{\partial T}{\partial q_{k}} = \sum_{i = 1}^{N}{\frac{1}{2}\ m_{i}\ \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left\lbrack \ \left( \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} \right)^{2} \right\rbrack = \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\ \frac{\partial}{\partial q_{k}}\left\lbrack \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\ \right\rbrack\ = \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\ \frac{d}{dt}\left\lbrack \frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}\ \right\rbrack\ \ \ }\ \ }\ \ \ \ \ }\]
De la même façon, on peut obtenir :
\[\frac{\partial T}{\partial\dot{q_{k}}} = \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\ \frac{\partial}{\partial\dot{q_{k}}}\left\lbrack \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\ \right\rbrack\ \ }\]
Or,
\[\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} = \sum_{j}^{}{\frac{\partial\overrightarrow{r_{j}}}{\partial q_{j}}\frac{\partial q_{j}}{\partial t}} = \sum_{j}^{}{\frac{\partial\overrightarrow{r_{j}}}{\partial q_{j}}{\dot{q}}_{j}}\]
Comme les impulsions généralisées sont indépendantes :
\[\frac{\partial}{\partial\dot{q_{k}}}\left( \frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt} \right) = \frac{\partial}{\partial\dot{q_{k}}}\left( \sum_{j}^{}{\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{j}}{\dot{q}}_{j}} \right) = \sum_{j}^{}{\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{j}}\frac{\partial{\dot{q}}_{j}}{\partial\dot{q_{k}}} = \frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}\ \ car\ \ \frac{\partial{\dot{q}}_{j}}{\partial\dot{q_{k}}} = \delta_{jk}}\]
En injectant cette relation dans \(\frac{\partial T}{\partial\dot{q_{k}}}\), on obtient :
\[\frac{\partial T}{\partial\dot{q_{k}}} = \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}\ \ \ }\]
D’où :
\[\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial\dot{q_{k}}} \right) = \frac{d}{dt}\left( \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}\ \ \ } \right) = \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d^{2}\overrightarrow{r_{i}}}{dt^{2}}\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}} + \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d\overrightarrow{r_{i}}}{dt}\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}} \right)\ \ \ }\ \ }\]
Et en introduisant la relation de Newton qui relie l’accélération et la force appliquée à chaque corps :
\[\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial\dot{q_{k}}} \right) – \frac{\partial T}{\partial q_{k}} = \sum_{i = 1}^{N}{\ m_{i}\frac{d^{2}\overrightarrow{r_{i}}}{dt^{2}}\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}} = \sum_{i = 1}^{N}{\ \overrightarrow{F_{i}}\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}}\]
La difficulté est alors de traiter ce dernier terme. C’est là qu’intervient l’idée géniale de Lagrange de faire l’hypothèse que la force appliquée à chaque corps dérive d’un potentiel. Ce que l’on peut écrire sous la forme :
\[\overrightarrow{F_{i}} = – \frac{\partial V}{\partial\overrightarrow{r_{i}}}\ où\ V\ ne\ dépend\ que\ des\ \overrightarrow{r_{i}}\ \]
On peut alors réécrire :
\[\sum_{i = 1}^{N}{\ \overrightarrow{F_{i}}\frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}} = – \sum_{i = 1}^{N}{\frac{\partial V}{\partial\overrightarrow{r_{i}}}\ \frac{\partial\overrightarrow{r_{i}}}{\partial q_{k}}} = – \frac{\partial V}{\partial q_{k}}\]
D’où on déduit finalement :
\[\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial T}{\partial\dot{q_{k}}} \right) – \frac{\partial(T – V)}{\partial q_{k}} = 0\]
Or, comme le potentiel dépend de la coordonnée généralisée, mais pas de l’impulsion généralisée, en notant \(L = T – V\) , on peut donc bien écrire l’équation d’Euler- Lagrange pour chaque degré de liberté.
\[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_{k}}}\left( q_{k},\dot{q_{k}},t \right) – \ \frac{\partial L}{\partial q_{k}}\left( q_{k},\dot{q_{k}},t \right) = 0\ pour\ tout\ 1 \leq k \leq l\ \]
Dans un deuxième temps, on va voir comment à partir de ces équations d’Euler-Lagrange pour chaque degré de liberté, Lagrange est arrivé aux équations dites canoniques de la mécanique analytique. Lagrange introduit la notion d’impulsion généralisée définie par :
\[{\dot{p}}_{k} = \frac{\partial L}{\partial q_{k}}\ et\ p_{k} = \frac{\partial L}{\partial\dot{q_{k}}}\]
On peut alors écrire :
\[dL = \sum_{k}^{}{\frac{\partial L}{\partial q_{k}}dq_{k}} + \sum_{k}^{}{\frac{\partial L}{\partial\dot{q_{k}}}d\dot{q_{k}} = \sum_{k}^{}{{\dot{p}}_{k}dq_{k}} + \sum_{k}^{}{p_{k}d\dot{q_{k}}}}\]
Or, on a
\[d\left( \sum_{k}^{}p_{k}\dot{q_{k}} \right) = \sum_{k}^{}{p_{k}d\dot{q_{k}}} + \sum_{k}^{}{\dot{q_{k}}dp_{k}}\]
D’où
\[\sum_{k}^{}{p_{k}d\dot{q_{k}}} = \ d\left( \sum_{k}^{}p_{k}\dot{q_{k}} \right) – \sum_{k}^{}{\dot{q_{k}}dp_{k}}\]
Et
\[dL = \sum_{k}^{}{{\dot{p}}_{k}dq_{k}} + d\left( \sum_{k}^{}p_{k}\dot{q_{k}} \right) – \sum_{k}^{}{\dot{q_{k}}dp_{k}}\]
Lagrange introduit alors la quantité H, en référence à Huygens, définie par
\[\mathbf{H =}\sum_{\mathbf{k}}^{}\mathbf{p}_{\mathbf{k}}\dot{\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}\mathbf{- L}\]
D’où
\[dH = – \sum_{k}^{}{{\dot{p}}_{k}dq_{k}} + \sum_{k}^{}{\dot{q_{k}}dp_{k}}\]
Et on en déduit finalement les équations canoniques, équations différentielles du premier ordre, qu’on appelle aujourd’hui les équations de Hamilton :
\[{\dot{\mathbf{p}}}_{\mathbf{k}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{\partial H}}{\mathbf{\partial}\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}\mathbf{\ \ et\ \ \ }\dot{\mathbf{q}_{\mathbf{k}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\partial H}}{\mathbf{\partial}\mathbf{p}_{\mathbf{k}}}\]
La transition de la formulation lagrangienne à la formulation hamiltonienne révèle une structure profonde de la mécanique analytique. En introduisant les impulsions généralisées et en définissant l’Hamiltonien comme une transformation du Lagrangien, on obtient un système d’équations différentielles du premier ordre, les équations canoniques, qui décrivent entièrement l’évolution du système.
Cette reformulation présente plusieurs avantages conceptuels majeurs. Elle met en évidence une symétrie entre les coordonnées et les impulsions, et permet d’interpréter la dynamique comme un flot dans un espace de phase, dont les variables naturelles sont les couples \(\left( \mathbf{q}_{\mathbf{k}},\mathbf{p}_{\mathbf{k}} \right)\). Elle simplifie également l’analyse de nombreux systèmes, en particulier lorsque des quantités conservées interviennent.
Au-delà de la mécanique classique, la formulation hamiltonienne constitue un point de départ essentiel pour des développements plus avancés. Elle est au cœur de la mécanique statistique, de la théorie des systèmes dynamiques, et joue un rôle fondamental dans la formulation de la mécanique quantique. Ainsi, les équations canoniques ne représentent pas seulement une reformulation technique des équations du mouvement, mais ouvrent la voie à une compréhension plus abstraite et plus unifiée des lois de la physique.
Encadré historique : Des équations de Lagrange aux équations de Hamilton
La formulation canonique de la mécanique est aujourd’hui indissociablement associée au nom de William Rowan Hamilton. Pourtant, il est important de souligner que les équations que l’on appelle aujourd’hui « équations de Hamilton » trouvent en réalité leur origine dans les travaux antérieurs de Joseph-Louis Lagrange.
Dans sa Mécanique analytique (1788), Lagrange développe une approche entièrement nouvelle de la mécanique, fondée sur les coordonnées généralisées et les principes variationnels. Au cours de ses travaux, il introduit déjà les grandeurs que l’on identifie aujourd’hui comme les impulsions généralisées, ainsi que des transformations permettant de passer d’une description en termes de vitesses à une description en termes d’impulsions. Les relations différentielles qu’il obtient sont, sous une forme encore implicite, équivalentes aux équations canoniques modernes.
Fait moins connu, Lagrange introduit également une fonction qu’il note \(H\), définie à partir du Lagrangien par une transformation que l’on qualifierait aujourd’hui de transformation de Legendre. Contrairement à une idée répandue, cette notation ne rend pas hommage à Hamilton, qui n’était alors qu’un enfant (né en 1805), soit bien après la publication des travaux de Lagrange. La lettre \(\mathbf{H\ }\)est en réalité choisie par Lagrange en référence à Christiaan Huygens, dont les travaux sur la dynamique et la théorie des pendules avaient profondément influencé le développement de la mécanique.
Cette notation apparaît explicitement dans les travaux tardifs de Lagrange, notamment dans son mémoire de 1811 consacré à la théorie des variations et aux transformations des équations de la mécanique. À cette époque, Lagrange approfondit sa reformulation de la dynamique et introduit de manière plus systématique des fonctions obtenues par transformation du Lagrangien, préfigurant clairement ce que l’on appelle aujourd’hui l’Hamiltonien. Le choix de la lettre \(H\ \)s’inscrit ainsi dans une tradition d’hommage aux grands prédécesseurs, et souligne l’influence durable des travaux de Huygens sur la mécanique analytique. Ce point historique permet de rappeler que la structure hamiltonienne de la mécanique n’est pas une rupture introduite ex nihilo par Hamilton, mais l’aboutissement d’une évolution progressive des idées initiée par Lagrange lui-même.
Ce n’est qu’au 19ème siècle que Hamilton reprend, systématise et généralise ces idées. Il reformule la mécanique sous une forme particulièrement élégante, en mettant au premier plan le rôle de l’Hamiltonien comme générateur de l’évolution temporelle, et en donnant aux équations canoniques leur forme symétrique moderne. Cette contribution majeure explique que son nom soit resté associé à cette formulation, bien que ses fondements remontent directement aux travaux de Lagrange.