La mécanique quantique constitue l’un des cadres théoriques les plus profonds et les plus féconds de la physique moderne. Elle permet de décrire le comportement des systèmes microscopiques (atomes, électrons, photons) dont les propriétés échappent aux lois de la mécanique classique. Cependant, au-delà de ses résultats expérimentaux spectaculaires, c’est avant tout par son formalisme mathématique qu’elle se distingue : elle impose une refonte complète des concepts utilisés pour décrire la réalité physique.
Contrairement à la mécanique classique, où l’état d’un système est défini par des grandeurs observables telles que la position et la vitesse, la mécanique quantique repose sur une description abstraite en termes de vecteurs d’état appartenant à un espace de Hilbert. Les grandeurs physiques ne sont plus représentées par des fonctions, mais par des opérateurs linéaires agissant sur ces vecteurs. Enfin, les résultats des mesures ne sont plus déterministes, mais probabilistes, ce qui introduit une rupture conceptuelle majeure dans l’interprétation des phénomènes physiques.
Ce formalisme, largement développé dans les travaux de Paul Dirac et formalisé rigoureusement par John von Neumann, constitue aujourd’hui le socle de la mécanique quantique non relativiste. Il permet d’unifier sous une même structure mathématique les différentes formulations historiques de la théorie, qu’il s’agisse de la mécanique ondulatoire de Erwin Schrödinger ou de la mécanique matricielle de Werner Heisenberg.
L’objectif de cet article est de présenter ce formalisme de manière progressive et structurée, en mettant l’accent sur ses fondements mathématiques. Nous introduirons successivement la représentation des systèmes quantiques par des vecteurs d’état, l’action des opérateurs linéaires sur ces états, la description de leur évolution temporelle, puis enfin le rôle des observables et du processus de mesure.
Cette approche ne vise pas à retracer l’histoire de la théorie ni à détailler des applications particulières, mais à mettre en lumière la cohérence interne de la mécanique quantique en tant que construction mathématique. On verra ainsi comment, à partir de quelques principes simples (structure d’espace vectoriel, opérateurs linéaires, propriétés spectrales) émerge une description complète et remarquablement efficace du monde microscopique.
Etats quantiques et espace de Hilbert
La mécanique quantique repose sur un changement profond de la manière de décrire les systèmes physiques. Dans le formalisme introduit par Paul Dirac, l’état d’un système quantique n’est plus représenté par des variables dynamiques comme la position et la vitesse, mais par un vecteur d’état appartenant à un espace de Hilbert complexe.
Un espace de Hilbert \(\mathcal{H}\ \)est un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire hermitien, complet pour la norme induite. Plus précisément, cet espace possède les propriétés suivantes : il est défini sur le corps des complexes, muni d’un produit scalaire sesquilinéaire, hermitien et défini positif, et toute suite de Cauchy y converge. On suppose en outre cet espace séparable, c’est-à-dire qu’il admet une base hilbertienne dénombrable.
Le produit scalaire hermitien est une application qui à deux vecteurs \(\mid \varphi\rangle\ \)et \(\mid \psi\rangle\ \)associe un nombre complexe \(\langle\varphi \mid \psi\rangle\), et qui vérifie plusieurs propriétés fondamentales. Il est linéaire par rapport à l’un des arguments (et anti-linéaire par rapport à l’autre), ce qui signifie par exemple que :
\[\langle\varphi \mid (a\psi_{1} + b\psi_{2})\rangle = a\langle\varphi \mid \psi_{1}\rangle + b\langle\varphi \mid \psi_{2}\rangle\]
Avec \(a,b \in \mathbb{C}\). Il est hermitien, c’est-à-dire que :
\[\langle\varphi \mid \psi\rangle = \langle\psi \mid \varphi\rangle^{*}\ \]
Et il est défini positif : \(\langle\psi \mid \psi\rangle \geq 0\), avec égalité si et seulement si \(\mid \psi\rangle = 0\). Ce produit scalaire permet d’introduire une norme sur l’espace, définie par \(\parallel \psi \parallel = \sqrt{\langle\psi \mid \psi\rangle}\), qui donne une notion de longueur et donc de distance entre les états.
La notion de complétude repose sur celle de suite de Cauchy. Une suite \(\left( \mid \psi_{n} \middle\rangle \ \right)\ \)est dite de Cauchy si ses éléments deviennent arbitrairement proches les uns des autres lorsque l’indice \(n\) devient grand, c’est-à-dire si :
\[\forall\varepsilon > 0,\text{ }\exists N\text{ tel que }m,n \geq N \Rightarrow \ \parallel \psi_{n} – \psi_{m} \parallel < \varepsilon\]
Dans un espace de Hilbert, toute suite de Cauchy converge vers un élément de l’espace. Cette propriété est essentielle : elle garantit que les limites des suites de fonctions (ou de vecteurs d’état), qui apparaissent naturellement en physique, restent bien à l’intérieur de l’espace considéré. Autrement dit, l’espace est « fermé » pour les opérations de passage à la limite.
Enfin, la séparabilité signifie qu’il existe une base hilbertienne dénombrable \(\left\{ \mid \alpha_{i} \middle\rangle \ \right\}\), c’est-à-dire une famille orthonormée de vecteurs telle que tout vecteur de l’espace puisse être approché arbitrairement bien par des combinaisons linéaires finies de ces vecteurs. Cette propriété est fondamentale en pratique : elle permet de ramener l’étude d’un espace potentiellement infini à celle de suites de coefficients. Elle est notamment à la base du développement des états quantiques sur des bases discrètes, ce qui rend les calculs effectivement réalisables.
Ces propriétés donnent à l’espace de Hilbert une structure à la fois riche et rigoureuse, qui permet de manipuler les états quantiques comme des objets mathématiques bien définis, tout en conservant une interprétation physique claire. C’est dans ce cadre que l’on peut introduire les vecteurs d’état et leur interprétation probabiliste.
À tout système quantique est ainsi associé un vecteur d’état \(\mathbf{\mid}\mathbf{\psi\rangle \in}\mathcal{H}\), qui contient l’ensemble de l’information accessible sur le système. On utilise pour cela la notation bra-ket introduite par Dirac : le vecteur \(\mid \psi\rangle\ \)est appelé un ket, tandis que son dual \(\langle\psi \mid \ \)est appelé un bra. Le produit scalaire entre deux états \(\mid \varphi\rangle\ \)et \(\mid \psi\rangle\ \)est noté :
\[\langle\varphi \mid \psi\rangle\]
Dans la représentation en position, ce produit scalaire s’écrit :
\[\langle\varphi \mid \psi\rangle = \int\varphi^{*}(\overrightarrow{r},t)\text{ }\psi(\overrightarrow{r},t)\text{ }d^{3}r\]
Ce produit scalaire joue un rôle central en mécanique quantique, car il permet d’introduire une interprétation probabiliste des états quantiques. Selon l’interprétation proposée par Max Born, le module carré de la fonction d’onde \(\psi(\overrightarrow{r},t)\ \)représente une densité de probabilité :
\[dP(\overrightarrow{r}) = \mid \psi(\overrightarrow{r},t) \mid^{2}\text{ }d^{3}r\]
Cette interprétation impose une condition de normalisation :
\[\left\langle \psi\mid\psi \right\rangle = \int_{}^{}\ \mid \psi\left( \overrightarrow{r},t \right) \mid^{2}\text{ }d^{3}r = 1\]
Qui traduit le fait que la probabilité totale de trouver la particule dans l’espace est égale à 1.
Il est important de noter que le vecteur d’état est défini à un facteur de phase globale près. En effet, les états \(\mid \psi\rangle\ \)et \(e^{i\theta} \mid \psi\rangle\), avec \(\theta \in \mathbb{R}\), décrivent le même état physique, car ils conduisent à la même densité de probabilité. En revanche, les phases relatives jouent un rôle essentiel dans les phénomènes d’interférence, ce qui constitue une caractéristique fondamentale des systèmes quantiques.
Le fait que les états quantiques soient décrits par des vecteurs d’un espace vectoriel entraîne immédiatement un principe fondamental : le principe de superposition. Si \(\mid \psi_{1}\rangle\ \)et \(\mid \psi_{2}\rangle\ \)sont deux états possibles d’un système, alors toute combinaison linéaire
\[\mid \psi\rangle = c_{1} \mid \psi_{1}\rangle + c_{2} \mid \psi_{2}\rangle\ \]
Où \(c_{1\ }\)et \(c_{2}\ \)sont des coefficients complexes, est également un état admissible (après normalisation).
Ce principe, qui n’a pas d’équivalent en mécanique classique, est au cœur de la physique quantique. Il reflète le caractère intrinsèquement ondulatoire des systèmes quantiques et permet d’expliquer des phénomènes tels que les interférences.
Plus généralement, tout vecteur d’état peut être décomposé sur une base hilbertienne \(\left\{ \mid \alpha_{i} \middle\rangle \ \right\}\) de l’espace \(\mathcal{H\ }\):
\[\mid \psi\rangle = \sum_{i}^{}c_{i} \mid \alpha_{i}\rangle\ \]
Où les coefficients \(c_{i}\ \)sont donnés par \(c_{i} = \langle\alpha_{i} \mid \psi\rangle\).
Cette décomposition joue un rôle fondamental dans l’interprétation physique des états quantiques. En effet, lorsque la base choisie est constituée d’états propres d’une observable donnée, les coefficients \(\mid c_{i} \mid^{2}\ \)peuvent être interprétés comme les probabilités d’obtenir les différentes valeurs possibles de cette observable lors d’une mesure.
Ainsi, la description d’un système quantique repose entièrement sur la structure de l’espace de Hilbert et sur les propriétés des vecteurs d’état qui y vivent. Ce cadre mathématique, à la fois abstrait et extrêmement puissant, constitue le socle sur lequel repose l’ensemble du formalisme de la mécanique quantique.
Opérateurs et observables
Dans le cadre formel introduit au chapitre précédent, les états quantiques sont décrits par des vecteurs d’un espace de Hilbert \(\mathcal{H}\). Pour décrire les grandeurs physiques et les transformations du système, on introduit la notion d’opérateur linéaire agissant sur cet espace.
Un opérateur \(\widehat{A}\ \)est une application linéaire de \(\mathcal{H\ }\)dans lui-même :
\[\widehat{A}\mathcal{:H \rightarrow H,} \mid \psi\rangle \mapsto \widehat{A} \mid \psi\rangle\]
Elle vérifie pour tous \(\mid \psi\rangle, \mid \varphi\rangle\mathcal{\in H\ }\)et \(a,b \in \mathbb{C}\),
\[\widehat{A}(a \mid \psi\rangle + b \mid \varphi\rangle) = a\text{ }\widehat{A} \mid \psi\rangle + b\text{ }\widehat{A} \mid \varphi\rangle\]
La structure hilbertienne de l’espace permet de définir, à tout opérateur \(\widehat{A}\), un opérateur adjoint \({\widehat{A}}^{\dagger}\) (se prononce A dague), caractérisé par la relation :
\[\langle\varphi \mid \widehat{A}\psi\rangle = \langle{\widehat{A}}^{\dagger}\varphi \mid \psi\rangle\]
Pour tous \(\mid \psi\rangle, \mid \varphi\rangle\mathcal{\in H}\).
Une classe particulière d’opérateurs joue un rôle central en mécanique quantique : les opérateurs hermitiens (ou autoadjoints), définis par la condition
\[{\widehat{A}}^{\dagger} = \widehat{A}\]
Ces opérateurs possèdent des valeurs propres réelles et admettent une base orthonormée de vecteurs propres (dans les cas bien définis), ce qui les rend particulièrement adaptés à la représentation des grandeurs physiques mesurables.
On associe ainsi à toute observable physique \(\mathbf{A\ }\)un opérateur hermitien \(\widehat{\mathbf{A}}\). Les valeurs propres de cet opérateur correspondent aux résultats possibles d’une mesure de cette grandeur, et les vecteurs propres associés définissent les états pour lesquels cette grandeur possède une valeur bien déterminée.
La structure algébrique des opérateurs introduit naturellement la notion de commutateur. Pour deux opérateurs \(\widehat{A}\ \)et \(\widehat{B}\), on définit :
\[\lbrack\widehat{A},\widehat{B}\rbrack = \widehat{A}\widehat{B} – \widehat{B}\widehat{A}\]
La non-commutativité de certains opérateurs constitue une caractéristique essentielle de la mécanique quantique. Elle est à l’origine de nombreuses propriétés fondamentales, notamment des relations d’indétermination, et marque une rupture profonde avec la mécanique classique, où les grandeurs physiques sont décrites par des fonctions commutatives.
Au-delà des observables, les opérateurs permettent également de décrire les transformations des états quantiques. En particulier, l’évolution temporelle d’un système est décrite par un opérateur unitaire \(\widehat{U}(t_{1},t_{2})\), qui associe à un état à l’instant \(t_{1}\ \)son état à l’instant \(t_{2\ }\):
\[\mid \psi(t_{2})\rangle = \widehat{U}(t_{1},t_{2}) \mid \psi(t_{1})\rangle\]
Un opérateur \(\widehat{U}\ \)est dit unitaire s’il vérifie :
\[{\widehat{U}}^{\dagger}\widehat{U} = \widehat{U}{\widehat{U}}^{\dagger} = Id\]
Cette propriété garantit la conservation de la norme des vecteurs d’état, et donc la conservation des probabilités au cours du temps.
L’opérateur d’évolution temporelle est étroitement lié à l’Hamiltonien \(\widehat{H}\), qui joue le rôle de générateur de la dynamique du système. Cette relation sera précisée dans le chapitre suivant consacré à l’évolution temporelle.
Enfin, de nombreux opérateurs interviennent dans l’analyse des systèmes quantiques sans correspondre directement à des observables. Parmi eux, on peut citer les opérateurs de projection, les opérateurs de translation et de rotation, ou encore les opérateurs de création et d’annihilation. Bien que leur rôle soit souvent technique, ils traduisent des propriétés fondamentales de symétrie ou de structure des systèmes étudiés.
Ainsi, les opérateurs constituent le second pilier du formalisme quantique : ils permettent de relier la structure abstraite de l’espace de Hilbert aux grandeurs physiques mesurables et aux transformations dynamiques des systèmes.
Evolution temporelle
Dans le chapitre précédent, nous avons introduit les opérateurs comme des applications linéaires agissant sur les vecteurs d’état, permettant de représenter les observables et les transformations des systèmes quantiques. Parmi ces opérateurs, certains jouent un rôle particulier : ils décrivent l’évolution du système au cours du temps.
La question de la dynamique est en effet centrale en physique. Une fois l’état d’un système quantique donné à un instant initial, comment prédire son état à un instant ultérieur ? Contrairement à la mécanique classique, où l’évolution est décrite par des équations différentielles portant sur des variables dynamiques, la mécanique quantique exprime cette évolution directement au niveau des vecteurs d’état, à l’aide d’un opérateur d’évolution.
On va considérer un système quantique décrit à l’instant t par le vecteur d’état / ψ(t) >. On introduit également l’opérateur d’évolution U (t1, t2) qui fait passer le système de l’état / ψ(t1) > à l’état / ψ(t2) >. On peut écrire cela de façon algébrique sous la forme ψ(t2) > = U (t1, t2) / ψ(t1) >. L’opérateur U dépend évidemment des deux instants auxquels on considère le système quantique.
La première chose que l’on peut noter c’est que si on considère trois instants t1, t2 et t3, on a U (t1, t3) = U (t2, t3) * U (t1, t2). Il faut faire bien attention à l’ordre, les opérateurs n’étant pas nécessairement commutatifs.
On va maintenant passer au point fondamental de la description de l’évolution des systèmes. On va considérer deux états du système à des temps t et t + δt très proches. On a alors par définition de l’opérateur U :
/ ψ (t + δt) > = U (t, t + δt) / ψ (t) >.
Les instants t et t + δt étant très proches, on peut considérer que l’opérateur U est proche de l’opérateur identité que l’on notera Id. On peut introduire un nouvel opérateur, et écrire cela U (t, t + δt) = Id + X (t, t + δt) * δt. Pour se convaincre que l’on peut faire cela, il suffit de décomposer le vecteur d’état / ψ (t) > sur une base, et d’appliquer cette identité à tous les coefficients de la matrice représentative de l’opérateur U sur cette base (cela s’apparente à un développement linéaire d’ordre 1).
En fait historiquement, et vous allez rapidement comprendre pourquoi, on utilise une autre dénomination pour cet opérateur X, et on le notera X = (-i/ħ) * H. Ce qui revient à écrire :
U (t, t + δt) = Id – (i/ħ) * H (t, t + δt) * δt.
Revenons maintenant à nos vecteurs d’état, on a :
/ ψ (t + δt) > = [Id – (i/ħ) * H (t, t + δt) * δt] / ψ (t) >.
Ce qu’on peut aussi réécrire en :
(/ ψ (t + δt) > – / ψ (t) >) / δt = – (i/ħ) * H (t, t + δt) / ψ (t) >.
Lorsque l’on fait tendre δt vers zéro, on trouve alors du côté gauche une dérivée, et côté droit, on peut simplifier la notation de l’opérateur H (t, t + δt), en le notant simplement H(t). On trouve alors l’équation d’évolution temporelle bien connue de la physique quantique sur laquelle on reviendra plusieurs fois ultérieurement :
\[\mathbf{iħ}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{dt}}\mathbf{\ }\mathbf{|\ \psi\ > \ }\mathbf{= \ }\widehat{\mathbf{H}}\mathbf{\ }\mathbf{|\ \psi\ >}\]
L’opérateur \(\widehat{\mathbf{H}}\) est l’Hamiltonien du système quantique considéré. Il représente l’énergie du système. Pour se convaincre de ce dernier point, on va faire le rapprochement avec l’équation de Schrödinger, en se souvenant que le formalisme mathématique n’est pas le même : dans notre cas, / ψ > est un vecteur d’état dans un espace de Hilbert, alors que dans l’équation de Schrödinger ψ est une fonction d’onde suivant le formalisme introduit par De Broglie. On la rappelle pour mémoire, et surtout pour illustrer la similitude entre les deux équations.
\[iħ\ \frac{\partial\Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right)}{\partial t} = – \frac{ħ^{2}}{2m}\mathrm{\Delta}\ \Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right) + V\left( \overrightarrow{r} \right)\ \Psi\left( t,\overrightarrow{r} \right)\]
Dans cette équation de Schrödinger, dans le membre de droite, le premier terme est celui de l’énergie cinétique et le deuxième celui du champ de potentiel.
Si l’on définit l’Hamiltonien \(\widehat{H}\) comme la somme des opérateurs d’énergie cinétique et d’énergie potentielle (cf. le chapitre sur les observables), on retrouve bien la même structure mathématique, confirmant ainsi que \(\widehat{H}\ \)représente l’énergie du système.
L’opérateur d’évolution \(\widehat{H}\) joue en outre un rôle essentiel pour établir l’équivalence entre la représentation de Schrödinger, centrée sur l’évolution des états, et la représentation de Heisenberg, qui met l’accent sur l’évolution des opérateurs. Ce lien fondamental a été formalisé par Paul Dirac à partir de 1925, unifiant ainsi les deux visions de la mécanique quantique.
Il faut bien retenir que l’Hamiltonien ne joue pas seulement le rôle d’opérateur d’évolution temporelle. C’est aussi une observable majeure, car ses valeurs propres définissent directement les niveaux d’énergie du système étudié. Si on note Ei les niveaux d’énergie et / ni > les vecteurs propres associés, on a alors par définition H / ni > = Ei / ni >.
Pour un opérateur Hamiltonien indépendant du temps, en application de l’équation de Schrödinger sur le vecteur propre, on trouve :
\[{\text{/}\ n}_{i\ }(t) > \ \ = \ \ e^{- iħE_{n}\left( t – t_{0} \right)}*\ {\text{/}\ n}_{i\ }\left( t_{0} \right) > \ \ \]
Les états propres de l’opérateur Hamiltonien sont les états stationnaires du système. Cette propriété est très utile dans l’étude des systèmes quantiques.
Une dernière remarque concerne l’opérateur hamiltonien. L’une des principales difficultés de la physique quantique réside dans la détermination explicite de cet opérateur pour un système donné. L’autre difficulté majeure étant, naturellement, la résolution des équations qui en découlent. Dans le cas élémentaire d’une particule libre soumise à un potentiel, comme dans l’équation de Schrödinger, la forme de l’Hamiltonien s’établit aisément.
Cependant, dans la plupart des situations physiques, la complexité des interactions rend cette détermination beaucoup moins triviale. Il est alors nécessaire d’introduire des approximations permettant de décrire le système de manière pertinente. Le véritable enjeu consiste à formuler des approximations physiquement justifiées, ce qui suppose une compréhension approfondie de la dynamique du système étudié.
Mesure et postulat de projection
Dans le cadre du formalisme quantique, les états d’un système sont décrits par des vecteurs d’un espace de Hilbert, et leur évolution par des opérateurs linéaires. Il reste à préciser comment les grandeurs physiques mesurables s’inscrivent dans ce cadre, et comment les résultats expérimentaux sont reliés à la structure mathématique de la théorie.
À toute grandeur physique mesurable, appelée observable, on associe un opérateur hermitien \(\widehat{A}\)agissant sur l’espace de Hilbert. Cette correspondance constitue l’un des postulats fondamentaux de la mécanique quantique.
Un opérateur est dit hermitien s’il vérifie :
\[{\widehat{A}}^{\dagger} = \widehat{A}\]
Cette propriété garantit que ses valeurs propres sont réelles, ce qui est indispensable pour représenter des résultats de mesure. De plus, les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, ce qui permet d’introduire une structure de décomposition particulièrement adaptée à l’interprétation physique.
Dans ce cadre, les résultats possibles d’une mesure de l’observable \(\mathbf{A\ }\)sont les valeurs propres \(\mathbf{a}_{\mathbf{n}}\mathbf{\ }\)de l’opérateur \(\widehat{\mathbf{A}}\), définies par :
\[\widehat{A} \mid \alpha_{n}\rangle = a_{n} \mid \alpha_{n}\rangle\]
Lorsque le spectre de l’opérateur est discret, les vecteurs propres peuvent être choisis de manière à former une base orthonormée de l’espace de Hilbert. Tout état quantique peut alors être décomposé sous la forme :
\[\mid \psi\rangle = \sum_{n}^{}c_{n} \mid \alpha_{n}\rangle\ \]
Avec \(c_{n} = \langle\alpha_{n} \mid \psi\rangle\).
Le postulat de mesure affirme que, si le système est dans l’état \(\mid \psi\rangle\), la mesure de l’observable \(A\)donne la valeur \(a_{n}\)avec une probabilité :
\[P_{n} = \mid c_{n} \mid^{2}\]
Ce résultat constitue une généralisation directe de l’interprétation probabiliste introduite précédemment. La mécanique quantique ne prédit donc pas le résultat individuel d’une mesure, mais uniquement la distribution de probabilité des résultats possibles.
À la suite de la mesure, le système n’est plus décrit par l’état initial \(\mid \psi\rangle\), mais par le vecteur propre associé à la valeur mesurée. Ce phénomène est connu sous le nom de réduction du paquet d’onde, et s’écrit :
\[\mid \psi\rangle \longrightarrow \ \mid \alpha_{n}\rangle\]
Ce postulat introduit une rupture profonde avec la mécanique classique : l’acte de mesure modifie irréversiblement l’état du système. Bien que ce principe soit parfaitement défini mathématiquement, son interprétation physique reste l’un des aspects les plus subtils de la théorie quantique.
Dans le cas général où le spectre de l’opérateur n’est pas discret (par exemple pour la position ou l’impulsion), les vecteurs propres ne sont pas normalisables au sens usuel et doivent être interprétés comme des distributions. Le formalisme précédent reste néanmoins valable, à condition de remplacer les sommes par des intégrales.
Au-delà des résultats individuels, la mécanique quantique permet de prédire la valeur moyenne d’une observable dans un état donné. Celle-ci est définie par :
\[\langle\widehat{A}\rangle = \langle\psi \mid \widehat{A} \mid \psi\rangle\]
Cette expression correspond à la moyenne statistique des résultats d’un grand nombre de mesures effectuées sur des systèmes identiques préparés dans le même état. En développant \(\mid \psi\rangle\)sur la base des vecteurs propres de \(\widehat{A}\), on retrouve :
\[\left\langle \widehat{A} \right\rangle = \sum_{n}^{}a_{n} \mid c_{n} \mid^{2}\]
Ce qui met en évidence l’analogie avec la moyenne pondérée classique.
L’évolution temporelle de cette valeur moyenne est donnée par la relation d’Ehrenfest :
\[\frac{d}{dt}\langle\widehat{A}\rangle = \langle\frac{\partial\widehat{A}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle\lbrack\widehat{A},\widehat{H}\rbrack\rangle\]
Cette formule établit un lien remarquable entre la mécanique quantique et la mécanique classique. En particulier, lorsque les commutateurs deviennent négligeables, on retrouve des équations analogues aux équations du mouvement classiques.
Ainsi, le formalisme des observables et de la mesure constitue le point de contact entre la structure mathématique abstraite de la mécanique quantique et les résultats expérimentaux. Il introduit une description intrinsèquement probabiliste des phénomènes physiques, tout en conservant une cohérence mathématique rigoureuse fondée sur les propriétés des opérateurs hermitiens.
Décomposition spectrale
Dans le cadre du formalisme de la mécanique quantique, toute observable est représentée par un opérateur hermitien agissant sur l’espace de Hilbert des états. L’une des propriétés fondamentales de ces opérateurs est qu’ils admettent, sous des conditions générales, une base de vecteurs propres permettant de décomposer tout état quantique.
Considérons un système quantique décrit par un vecteur d’état \(\mid \psi\rangle\), et une observable associée à un opérateur hermitien \(\widehat{A}\). Si l’on note \(\left\{ \mid \alpha_{n} \middle\rangle \ \right\}\ \)une base orthonormée de vecteurs propres de cet opérateur, associée aux valeurs propres \(a_{n}\), on a :
\[\widehat{A} \mid \alpha_{n}\rangle = a_{n} \mid \alpha_{n}\rangle\]
Tout état du système peut alors se décomposer sur cette base :
\[\mid \psi\rangle = \sum_{n}^{}c_{n} \mid \alpha_{n}\rangle,\ \text{avec }c_{n} = \langle\alpha_{n} \mid \psi\rangle\]
Cette décomposition possède une interprétation physique directe : si l’on mesure l’observable \(A\ \)dans l’état \(\mid \psi\rangle\), le résultat obtenu sera l’une des valeurs propres \(a_{n}\), avec une probabilité donnée par :
\[P_{n} = \mid c_{n} \mid^{2}\]
Ainsi, la décomposition d’un vecteur d’état sur la base des vecteurs propres d’un opérateur correspond à une décomposition probabiliste des résultats possibles de la mesure associée à cette observable.
Un cas particulièrement important est celui de l’énergie, associée à l’opérateur hamiltonien \(\widehat{H}\). Les vecteurs propres de cet opérateur vérifient :
\[\widehat{H} \mid n\rangle = E_{n} \mid n\rangle\ \]
Où \(E_{n}\ \)représente les niveaux d’énergie du système.
Ces états propres sont appelés états stationnaires, car leur évolution temporelle se réduit à une simple phase :
\[\mid n(t)\rangle = e^{- iE_{n}t/\hbar} \mid n\rangle\]
Un état quantique quelconque peut alors s’écrire comme une superposition d’états stationnaires :
\[\mid \psi\rangle = \sum_{n}^{}c_{n} \mid n\rangle\]
Dans ce cas, la mesure de l’énergie du système ne peut fournir que l’une des valeurs \(E_{n}\), avec une probabilité \(\mid c_{n} \mid^{2}\). Cette propriété constitue l’une des manifestations les plus directes de la quantification en mécanique quantique.
Ce formalisme trouve une illustration particulièrement claire dans le cas des systèmes atomiques. Par exemple, dans un atome, les électrons ne peuvent occuper que certains niveaux d’énergie discrets, déterminés par la résolution de l’équation de Schrödinger.
Dans le cas de l’atome d’hydrogène, les niveaux d’énergie sont donnés par :
\[E_{n} = \frac{E_{1}}{n^{2}},n = 1,2,3,\ldots\]
Un électron peut être préparé dans un état qui n’est pas un état propre de l’Hamiltonien, mais une superposition de plusieurs niveaux d’énergie :
\[\mid \psi\rangle = c_{1} \mid 1\rangle + c_{2} \mid 2\rangle + c_{3} \mid 3\rangle + \cdots\]
Dans ce cas, une mesure de l’énergie donnera l’une des valeurs \(E_{n}\), avec une probabilité \(\mid c_{n} \mid^{2}\). Après la mesure, le système se retrouve dans l’état propre correspondant.
Ce phénomène est à l’origine des spectres atomiques. Lorsqu’un électron se trouve dans un état propre d’énergie \(E_{n}\), il ne peut pas rayonner tant qu’il reste dans cet état stationnaire. En revanche, si le système est perturbé (par exemple par une interaction avec un autre atome ou un champ électromagnétique), l’électron peut effectuer une transition vers un autre état propre \(\mid k\rangle\ \)d’énergie \(E_{k}\).
Lors d’une telle transition, la conservation de l’énergie impose que la différence d’énergie entre les deux niveaux soit échangée avec le rayonnement électromagnétique sous forme d’un photon. On a ainsi la relation fondamentale :
\[h\nu = \ E_{n} – E_{k}\ \]
Où \(\nu\ \)est la fréquence du photon émis ou absorbé, et \(h\ \)la constante de Planck.
Si \(E_{n} > E_{k}\), le système émet un photon : il s’agit d’un processus d’émission. À l’inverse, si \(E_{n} < E_{k}\), le système absorbe un photon de fréquence appropriée pour effectuer la transition vers un niveau d’énergie supérieur.
Dans le cas des systèmes atomiques, et en particulier pour l’atome d’hydrogène, les niveaux d’énergie \(E_{n}\ \)sont discrets. Il en résulte que seules certaines différences d’énergie sont possibles, et donc seules certaines fréquences \(\nu\ \)peuvent être émises ou absorbées. Le spectre du rayonnement n’est donc pas continu, mais constitué d’un ensemble de raies discrètes.
Ces raies spectrales correspondent exactement aux transitions entre les différents niveaux d’énergie. Par exemple, dans le spectre visible de l’atome d’hydrogène (série de Balmer), les raies observées correspondent aux transitions vers le niveau \(n = 2\). Chaque raie est associée à une différence d’énergie bien définie entre deux états propres de l’Hamiltonien.
Ainsi, le spectre atomique constitue une signature directe de la structure spectrale de l’opérateur hamiltonien. Autrement dit, l’observation expérimentale des raies spectrales permet d’accéder aux valeurs propres de l’Hamiltonien, et donc à la structure énergétique du système quantique considéré.
Cette analyse met en évidence un point fondamental : la mécanique quantique ne décrit pas directement les valeurs des grandeurs physiques, mais les probabilités associées à leurs différentes valeurs possibles. Le choix de la base, c’est-à-dire de l’observable étudiée, détermine la manière dont l’état quantique est décomposé et interprété.
Ainsi, un même état peut apparaître comme une superposition de niveaux d’énergie, ou comme une superposition d’états de position ou d’impulsion, selon l’observable considérée. Cette dépendance au choix de la représentation est au cœur du formalisme quantique et reflète la nature profondément non classique de la théorie.