Parmi les propriétés les plus remarquables de la mécanique quantique figure l’intrication, un phénomène dans lequel plusieurs systèmes physiques ne peuvent plus être décrits indépendamment les uns des autres, mais uniquement comme un tout. Contrairement à l’intuition classique, l’état du système global ne se réduit pas à la connaissance des états de chacun de ses constituants pris séparément.
Cette non-séparabilité se traduit par l’existence de corrélations profondes entre les résultats de mesures effectuées sur les différentes parties du système. Ainsi, la mesure d’une grandeur sur l’une des particules détermine instantanément les prédictions concernant l’autre, même lorsque celles-ci sont spatialement éloignées. Il ne s’agit pas d’un transfert d’information au sens classique, mais d’une propriété intrinsèque de la structure de l’état quantique.
Du point de vue mathématique, l’intrication apparaît naturellement dès que l’on considère le produit tensoriel des espaces de Hilbert associés à plusieurs systèmes. Certains états de cet espace ne peuvent pas être factorisés en produits d’états individuels : ce sont précisément ces états que l’on qualifie d’intriqués.
L’objectif de cet article est d’illustrer concrètement cette notion à travers un exemple simple mais fondamental : celui de deux électrons de spin \(\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\). L’étude de leur état singulet permettra de mettre en évidence à la fois la structure mathématique de l’intrication et ses conséquences physiques, notamment en termes de corrélations de mesure et d’interprétation du formalisme quantique.
Intrication quantique : définition et structure
L’intrication quantique est l’une des propriétés les plus fondamentales, et les plus déroutantes, de la mécanique quantique. Elle apparaît dès que l’on considère un système composé de plusieurs sous-systèmes, et qu’on examine la structure de son espace d’états.
Considérons deux systèmes quantiques \(S_{1}\ \)et \(S_{2}\), décrits respectivement dans des espaces de Hilbert \(\mathcal{H}_{1}\ \)et \(\mathcal{H}_{2}\). L’espace des états du système global est alors le produit tensoriel :
\[\mathcal{H =}\mathcal{H}_{1} \otimes \mathcal{H}_{2}\]
Un état du système global est dit séparable s’il peut s’écrire comme un produit tensoriel de deux états individuels :
\[\mid \Psi\rangle = \mid \psi_{1}\rangle \otimes \mid \psi_{2}\rangle\]
Dans ce cas, les deux sous-systèmes sont indépendants : toute information sur le système global est entièrement contenue dans les états de chacun des sous-systèmes.
Cependant, tous les vecteurs de \(\mathcal{H}_{1} \otimes \mathcal{H}_{2}\ \)ne sont pas de cette forme. Il existe des états qui ne peuvent pas être factorisés en un produit tensoriel. Ces états sont appelés états intriqués.
Autrement dit, un état \(\mid \Psi\rangle\ \)est intriqué s’il n’existe aucun couple d’états \(\mid \psi_{1}\rangle\ \)et \(\mid \psi_{2}\rangle\ \)tel que :
\[\mid \Psi\rangle = \mid \psi_{1}\rangle \otimes \mid \psi_{2}\rangle\]
Cette propriété est purement mathématique, mais elle possède des conséquences physiques profondes. En effet, dans un état intriqué, il n’est plus possible d’attribuer un état propre à chacun des sous-systèmes indépendamment du reste. Le système doit être considéré comme un tout indivisible.
Pour mieux comprendre cette situation, considérons un état général du système composé :
\[\mid \Psi\rangle = \sum_{i,j}^{}c_{ij} \mid i\rangle \otimes \mid j\rangle,\]
Où \(\left\{ \mid i \middle\rangle \ \right\}\ \)et \(\left\{ \mid j \middle\rangle \ \right\}\ \)sont des bases des espaces \(\mathcal{H}_{1}\ \)et \(\mathcal{H}_{2}\). Si les coefficients \(c_{ij\ }\)peuvent se factoriser sous la forme \(c_{ij} = a_{i}b_{j}\), alors l’état est séparable. Dans le cas contraire, il est intriqué.
L’intrication se manifeste physiquement à travers les corrélations entre les résultats de mesures effectuées sur les deux sous-systèmes. Contrairement aux corrélations classiques, qui peuvent toujours être expliquées par une information préexistante, les corrélations quantiques issues de l’intrication ne peuvent pas être reproduites par une théorie classique locale. Elles traduisent une propriété intrinsèque de l’état quantique global.
Ainsi, lorsqu’un système est dans un état intriqué, la mesure d’une observable sur l’un des sous-systèmes modifie instantanément la description du système global, et donc les prédictions concernant l’autre sous-système, indépendamment de la distance qui les sépare. Il est important de souligner que ce phénomène ne permet pas de transmettre de l’information de manière instantanée : il s’agit d’une corrélation statistique, et non d’un mécanisme de communication.
Cette non-séparabilité constitue une rupture profonde avec la physique classique. Dans un cadre classique, un système composé est entièrement décrit par les états de ses constituants. En mécanique quantique, ce n’est plus le cas : certaines propriétés appartiennent au système global et ne peuvent pas être attribuées individuellement à ses parties.
L’intrication est aujourd’hui reconnue comme une ressource fondamentale en physique quantique. Elle joue un rôle central dans de nombreux développements modernes, tels que la violation des inégalités de Bell, la cryptographie quantique ou encore le calcul quantique. Elle ne constitue donc pas seulement une curiosité théorique, mais un élément structurant de la théorie quantique elle-même.
Exemple de l’intrication quantique de deux électrons de spin ½
Pour illustrer cette notion, on s’appuie ici sur un exemple simple mais fondamental : celui de deux électrons, chacun doté d’un spin ½ , et décrits dans le cadre rigoureux de la mécanique quantique. À travers l’analyse de leur état singulet, on met en évidence la structure mathématique et physique de l’intrication, ainsi que ses conséquences sur les mesures et les corrélations observables.
Le cas du spin ½ de l’électron :
Considérons un système quantique à deux états, correspondant aux deux valeurs possibles de la projection du spin d’un électron le long d’un axe donné (par convention, l’axe z) : +½ et -½ (en unités de ħ).
On note / + > et / – > les vecteurs propres de l’observable spin Sz correspondants à ces deux valeurs propres de spin.
On peut écrire un vecteur d’état quelconque comme une combinaison linéaire des vecteurs propres de spin : \(|\ Ѱ > \ = \ \alpha\ | + > \ + \ \beta\ |\ – \ > \ \). La probabilité d’observer les mesures de spin ½ ou -½, sont respectivement |α|² et |β|² avec \(|\alpha|^{2} + |\beta|^{2} = 1.\)
L’observable spin Sz suivant l’axe (Oz) s’écrit simplement dans la base de ses vecteurs propres / + > et / – > :
\[Sz = \ \frac{\ ħ}{2}\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & – 1 \end{pmatrix}\ \]
Il existe aussi des opérateurs de spin Sx et Sy, correspondant aux mesures le long des autres axes. Ils forment avec Sz un triplet d’opérateurs appelés matrices de Pauli, fondamentales en mécanique quantique.
Système à deux électrons :
Considérons maintenant deux électrons, chacun de spin ½. L’espace de Hilbert du système global est le produit tensoriel des deux espaces individuels, soit un espace de dimension 4. Une base de cet espace est formée par les quatre états : / ++ > ; / +- > ; / -+ > ; / – – >.
On note l’état général du système à deux électrons | Ѱ >, avec | Ѱ > = a / ++ > + b / +- > c / -+ > + d / – – >.
On définit l’opérateur de spin total S du système, avec S = S1 + S2. Où S1 et S2 sont les opérateurs de spin de chaque électron. Ces opérateurs commutent entre eux puisqu’ils agissent sur des espaces de Hilbert distincts.
Décomposition en états propres du spin total :
On peut montrer que le spin total du système à deux électrons est soit S=1, soit S=0. Par ailleurs, on admettra que les quatre états propres correspondant à ces deux valeurs propres se décomposent en deux ensembles :
- Un ensemble de trois vecteurs propres pour la valeur propre S=1. On appelle cet ensemble l’état triplet du système de deux spins. Ces vecteurs ont la particularité d’être symétriques si on échange les valeurs des projections suivant (Oz) des spins des deux électrons ;
- Un vecteur propre unique correspondant à la valeur propre S=0 du spin total. Ce vecteur propre est appelé l’état singulet du système de deux spins. Ce vecteur a la particularité d’être antisymétrique si on échange les valeurs des projections suivant (Oz) des spins des deux électrons.
Ces quatre vecteurs propres forment une base de l’espace de Hilbert à quatre dimensions. Cet espace de Hilbert se décompose ainsi en une somme directe d’un espace à une dimension (S=0) et d’un espace à trois dimensions (S=1).
L’intrication dans l’état singulet :
Pour illustrer le phénomène d’intrication, on va se focaliser sur l’état singulet que l’on va noter / ѰA >. Le caractère A étant ici synonyme d’antisymétrique. Les calculs des vecteurs propres de l’opérateur spin total S conduisent à l’état singulet :
\[|\ Ѱ_{\ A}\ > \ = \ \frac{1}{\sqrt{2}}*(\ |\ + – \ > \ – \ | – + \ > )\]
On retrouve bien dans cette formule le caractère antisymétrique par échange des deux spins.
Supposons maintenant que le système à deux électrons, constitués chacun d’un électron de spin ½, se trouve dans cet état singulet / ѰA > du spin total S=0.
Un état est dit intriqué si l’état du système global ne peut pas s’écrire comme le produit tensoriel d’états individuels. C’est le cas de l’état singulet, qui ne peut être factorisé en un produit |ψ⟩₁ ⊗ | ψ ⟩₂. On dit également qu’il n’est pas séparable.
Pour le démontrer, il suffit de prendre deux vecteurs, d’écrire leur produit tensoriel et constater qu’il n’existe pas de combinaison de coefficients permettant de trouver l’état singulet. Soit deux états :
\[Ѱ_{1}\ = \ a\ \text{/}\ + \ > + \ b\ \text{/}\ – \ > \ \ et\ Ѱ_{2}\ = \ c\ \text{/}\ + \ > + \ d\ \text{/}\ – \ >\]
Ecrivons alors le produit tensoriel de ces deux vecteurs :
\[Ѱ_{1} \otimes \ Ѱ_{2}\ = \ \ ac\ \text{/}\ + + \ > \ + \ ad\ \text{/}\ \pm \ > + \ bc\ \text{/}\ \mp \ > \ + \ bd\ \text{/}\ – \ – \ > \ \ \]
Pour que l’état singulet soit un produit tensoriel de deux vecteurs d’état, il faudrait alors trouver a, b, c et d tels que :
\[ac = 0\ ;\ ad = \frac{1}{\sqrt{2}}\ ;\ bd = 0\ ;\ bc = – \frac{1}{\sqrt{2}}\]
On constate assez rapidement qu’il n’y a pas de solution. En effet, l’égalité \(ac = 0\ \) veut dire que soit a=0, soit c=0. Ce qui contredit soit \(ad = \frac{1}{\sqrt{2}}\ \) soit \(bc = – \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Cette non-séparabilité entraîne une conséquence physique remarquable : si l’on mesure le spin du premier électron et qu’on obtient, par exemple ½ alors on sait instantanément que le second électron aura un spin de -½ , même s’il est à grande distance. C’est ce qu’on appelle l’intrication. Cette corrélation ne reflète pas une communication entre les particules (interdite par la relativité), mais elle découle de la structure globale de l’état quantique.
L’étude de l’état singulet d’un système de deux électrons met en lumière la nature profondément non classique de la mécanique quantique. L’intrication révèle que certaines propriétés physiques ne sont pas localisées sur chaque particule, mais réparties globalement sur l’ensemble du système. Cette interdépendance, vérifiée expérimentalement à travers des tests des inégalités de Bell, remet en question notre intuition classique sur la séparation des objets dans l’espace et constitue aujourd’hui un pilier de la physique quantique moderne.
Conséquences et applications de l’intrication quantique
L’intrication quantique, longtemps perçue comme une curiosité conceptuelle de la théorie, s’est progressivement imposée comme une ressource fondamentale en physique moderne. Sa capacité à produire des corrélations non classiques entre systèmes distants a conduit à des développements majeurs, tant sur le plan théorique qu’expérimental.
L’une des premières conséquences importantes de l’intrication concerne la remise en cause de la vision classique du monde fondée sur le réalisme local. Cette remise en question a été formalisée à travers les inégalités de Bell, qui permettent de distinguer les corrélations quantiques de celles compatibles avec une théorie classique locale. Les expériences réalisées depuis les années 1980 ont confirmé de manière robuste la violation de ces inégalités, validant ainsi les prédictions de la mécanique quantique et établissant le caractère non classique des corrélations issues de l’intrication.
Au-delà de cet aspect fondamental, l’intrication joue un rôle central dans le développement de nouvelles technologies de l’information. En cryptographie quantique, elle permet d’établir des protocoles de distribution de clés dont la sécurité repose sur les lois mêmes de la physique. Par exemple, dans les protocoles de type EPR, deux utilisateurs peuvent partager des paires de particules intriquées et détecter toute tentative d’interception grâce à la perturbation des corrélations quantiques. Contrairement aux méthodes classiques, la sécurité ne dépend plus de la difficulté algorithmique d’un problème, mais d’un principe physique fondamental.
L’intrication est également au cœur du calcul quantique. Dans un ordinateur classique, l’information est codée sous forme de bits indépendants. En revanche, dans un ordinateur quantique, les qubits peuvent être placés dans des états intriqués, ce qui permet de créer des corrélations entre un grand nombre de degrés de liberté. Cette propriété est essentielle pour obtenir des gains de performance sur certains problèmes, comme la factorisation des nombres entiers ou la simulation de systèmes quantiques complexes. L’intrication permet en effet d’explorer simultanément un espace d’états de dimension exponentielle, inaccessible aux architectures classiques.
Un autre domaine d’application remarquable est celui de la téléportation quantique. Ce protocole permet de transférer l’état quantique d’un système vers un autre système distant, sans déplacement physique de la particule elle-même. Il repose sur le partage préalable d’une paire de particules intriquées et sur l’envoi d’une information classique complémentaire. Ce phénomène illustre de manière particulièrement frappante le rôle de l’intrication comme ressource informationnelle, distincte de toute notion classique de transmission.
Enfin, l’intrication intervient dans des domaines émergents tels que la métrologie quantique, où elle permet d’améliorer la précision des mesures au-delà des limites classiques, ou encore dans l’étude des systèmes fortement corrélés en physique de la matière condensée. Elle joue également un rôle croissant dans les réflexions sur les fondements de la gravitation quantique et de la structure de l’espace-temps.
Ainsi, ce qui apparaissait initialement comme une étrangeté conceptuelle s’est révélé être un élément structurant de la physique contemporaine. L’intrication ne se limite pas à une propriété abstraite des états quantiques : elle constitue une ressource exploitable, au cœur des technologies quantiques actuelles et futures. Elle illustre de manière exemplaire la profondeur de la rupture introduite par la mécanique quantique, où l’information, les corrélations et la structure des états prennent le pas sur une description locale et déterministe du monde physique.