Le modèle proposé par Hideki Yukawa en 1935 constitue une avancée majeure dans la compréhension de l’interaction entre nucléons. À cette époque, la nature de la force liant protons et neutrons dans le noyau atomique restait inexpliquée. Yukawa eut l’idée de modéliser cette interaction comme résultant de l’échange d’une particule massive, introduisant ainsi le concept fondamental de particule médiatrice d’interaction.
Son approche repose sur la quantification d’un champ scalaire relativiste, obéissant à l’équation de Klein-Gordon. Ce modèle constitue un exemple paradigmatique de la manière dont une théorie de champ permet de dériver un potentiel d’interaction à partir d’une dynamique relativiste sous-jacente. L’objectif de cet article est de reconstruire ce raisonnement en mettant en évidence les étapes mathématiques essentielles.
On considère un champ scalaire réel \(\varphi(x^{\mu})\), défini sur l’espace-temps de Minkowski, et décrit par le lagrangien relativiste
\[\mathcal{L =}\frac{1}{2}\text{ }\partial^{\mu}\varphi\text{ }\partial_{\mu}\varphi – \frac{1}{2}\text{ }m^{2}\varphi^{2}\]
Ce lagrangien est invariant de Lorentz et correspond à la généralisation relativiste de l’énergie cinétique et potentielle d’un champ. Le premier terme représente l’énergie cinétique du champ, tandis que le second correspond à un terme de masse.
L’équation du mouvement associée s’obtient par application des équations d’Euler-Lagrange pour les champs :
\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi} – \partial_{\mu}\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\varphi)} \right) = 0\]
Un calcul direct donne
\[- m^{2}\varphi – \partial_{\mu}\partial^{\mu}\varphi = 0, \]
En coordonnées explicites, cela s’écrit
\[\Delta\varphi(\overrightarrow{r},t) – \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi(\overrightarrow{r},t)}{\partial t^{2}} = \frac{m^{2}c^{2}}{\hbar^{2}}\text{ }\varphi(\overrightarrow{r},t), \]
qui est l’équation de Klein-Gordon.
Pour étudier l’interaction entre deux nucléons dans un régime statique, on suppose que le champ ne dépend pas du temps. L’équation se réduit alors à
\[\Delta\varphi(\overrightarrow{r}) = \frac{m^{2}c^{2}}{\hbar^{2}}\text{ }\varphi(\overrightarrow{r})\]
Cette équation est une équation de Helmholtz. On cherche une solution sphériquement symétrique, ne dépendant que de la distance \(r = \mid \overrightarrow{r} \mid\). En coordonnées sphériques, le Laplacien s’écrit
\[\Delta\varphi(r) = \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\left( r^{2}\frac{d\varphi}{dr} \right)\]
L’équation devient donc
\[\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\left( r^{2}\frac{d\varphi}{dr} \right) = \frac{m^{2}c^{2}}{\hbar^{2}}\text{ }\varphi(r)\]
On introduit alors la fonction \(u(r) = r\text{ }\varphi(r)\), ce qui permet de simplifier l’équation. Un calcul direct montre que
\[\frac{d^{2}u}{dr^{2}} = \frac{m^{2}c^{2}}{\hbar^{2}}\text{ }u\]
La solution générale est donc
\[u(r) = Ae^{- r/R} + Be^{r/R},\ avec\text{ }R = \frac{\hbar}{mc}\]
La condition physique de finitude à l’infini impose \(B = 0\), d’où
\[\varphi(r) = \frac{A}{r}e^{- r/R}\]
En introduisant une constante de couplage \(g\), on écrit la solution sous la forme
\[\varphi(r) = \frac{g}{4\pi r}e^{- r/R}\]
Le potentiel d’interaction entre deux nucléons est alors proportionnel à ce champ :
\[\mathbf{V(r) = -}\text{ }\frac{\mathbf{g}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4\pi r}}\text{ }\mathbf{e}^{\mathbf{- r}\mathbf{/}\mathbf{R}}\]
Ce potentiel, appelé potentiel de Yukawa, possède des propriétés fondamentales. Il est attractif, comme le montre le signe négatif, et surtout de portée finie. Le facteur exponentiel \(e^{- r/R}\ \)entraîne une décroissance rapide de l’interaction lorsque \(r\ \)devient grand devant la longueur caractéristique \(R\). Cette longueur est donnée par
\[R = \frac{\hbar}{mc}\]
Cette expression montre que la portée de l’interaction est inversement proportionnelle à la masse de la particule médiatrice.
Cette interprétation de \(m\ \)comme masse d’une particule médiatrice trouve son origine dans la structure même de la théorie des champs. Le champ scalaire \(\varphi(x)\ \)introduit au départ n’est pas seulement un objet mathématique : dans le cadre de la quantification, il est associé à des excitations élémentaires du champ, c’est-à-dire à des particules. L’équation de Klein-Gordon décrit précisément un champ dont les quanta possèdent une masse \(m\). Autrement dit, toute solution de cette équation peut être interprétée, après quantification, comme décrivant des particules de masse \(m\).
Dans ce contexte, l’interaction entre deux nucléons peut être vue comme résultant de l’échange de ces quanta du champ \(\varphi\). Mathématiquement, le champ généré par une source agit sur une autre particule via le potentiel \(\varphi(r)\), mais physiquement, cette interaction est interprétée comme un échange de particules virtuelles de masse \(m\). La dépendance exponentielle \(e^{- r/R\ }\)traduit alors le fait que ces particules massives ne peuvent se propager que sur une distance finie, caractérisée par \(R = \hbar/(mc)\).
Ainsi, le paramètre \(m\), initialement introduit comme un simple terme de masse dans le lagrangien, acquiert une signification physique directe : il correspond à la masse des quanta du champ, c’est-à-dire des particules médiatrices de l’interaction.
Le modèle de Yukawa constitue une illustration remarquable de la puissance de la théorie quantique des champs. À partir d’un lagrangien relativiste simple décrivant un champ scalaire, on obtient naturellement une interaction de portée finie, en accord avec les propriétés expérimentales de l’interaction nucléaire forte.
Au-delà de son succès historique, ce modèle introduit des concepts fondamentaux qui structurent toute la physique des particules moderne : l’idée que les interactions sont médiées par des champs quantifiés, et que les propriétés de ces interactions, en particulier leur portée, sont directement liées à la masse des particules médiatrices. Le potentiel de Yukawa apparaît ainsi comme un prototype des interactions décrites aujourd’hui dans le cadre des théories de jauge.