La notion d’invariance de jauge occupe une place centrale dans la formulation moderne des théories des interactions fondamentales. Elle repose sur une idée simple mais extrêmement féconde : les lois physiques doivent être invariantes sous certaines transformations locales des champs, c’est-à-dire des transformations dépendant du point de l’espace-temps.
En mécanique quantique, on sait que les états sont définis à un facteur de phase près, ce qui conduit naturellement à considérer des transformations globales de phase. Lorsqu’on transpose cette idée au cadre des champs quantiques, on est conduit à s’interroger sur la possibilité d’étendre cette invariance à des transformations locales. Or cette exigence, apparemment innocente, a des conséquences profondes : elle impose la structure même des interactions.
Dans un premier temps, cette démarche sera appliquée au cas le plus simple, celui d’une symétrie de phase associée au groupe \(U(1)\), qui conduit à l’électrodynamique quantique. On verra que l’introduction du champ électromagnétique et du couplage entre ce champ et le champ de Dirac résulte directement de l’exigence d’invariance de jauge locale.
Dans un second temps, on généralisera ce principe à des groupes de Lie non abéliens, tels que \(SU(2)\ \)et \(SU(3)\), dont les éléments ne commutent pas. Cette extension conduit à une structure mathématique plus riche, dans laquelle apparaissent plusieurs champs de jauge ainsi que des interactions entre ces champs eux-mêmes.
L’objectif de cet article est de montrer comment, à partir d’un principe de symétrie locale, on peut construire de manière systématique les termes d’interaction d’une théorie quantique des champs, et comprendre ainsi l’origine profonde des interactions décrites dans le modèle standard.
L’invariance de jauge en électrodynamique quantique (QED)
L’idée fondamentale de la théorie de jauge est la suivante : imposer une symétrie locale à un lagrangien libre conduit nécessairement à introduire un champ d’interaction. Ce point de vue est particulièrement clair dans le cas de l’électrodynamique quantique, où l’interaction entre le champ de Dirac et le champ électromagnétique peut être déduite de l’exigence d’invariance de jauge locale.
Considérons tout d’abord le champ libre de l’électron, décrit par un spineur de Dirac \(\psi(x)\). La densité de lagrangien du champ libre s’écrit
\[\mathcal{L}_{\text{libre}} = \overset{ˉ}{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} – m)\psi\]
Où \(\overset{ˉ}{\psi} = \psi^{\dagger}\gamma^{0}\ \)est le spineur adjoint, \(m\ \)la masse de l’électron, et les \(\gamma^{\mu\ }\)les matrices de Dirac. Ce lagrangien décrit un champ fermionique relativiste sans interaction.
On sait, depuis la mécanique quantique, qu’un état quantique est défini à une phase globale près. La transposition de cette idée en théorie quantique des champs consiste à considérer la transformation
\[\psi(x) \longrightarrow \psi'(x) = e^{i\theta}\psi(x)\]
Où \(\theta\ \)est une constante réelle. Le spineur adjoint se transforme alors selon
\[\overset{ˉ}{\psi}(x) \longrightarrow {\overset{ˉ}{\psi}}'(x) = \overset{ˉ}{\psi}(x)e^{- i\theta}\]
Comme la phase est constante, elle commute avec la dérivation, et l’on vérifie immédiatement que le lagrangien libre reste invariant sous cette transformation. En effet,
\[{\overset{ˉ}{\psi}}'(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} – m)\psi’ = \overset{ˉ}{\psi}e^{- i\theta}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} – m)e^{i\theta}\psi = \overset{ˉ}{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} – m)\psi\]
Le lagrangien du champ libre possède donc une invariance de phase globale.
Cette symétrie globale est déjà riche de conséquences, notamment via le théorème de Noether, puisqu’elle conduit à la conservation de la charge électrique. Mais l’idée décisive de la théorie de jauge consiste à imposer une condition beaucoup plus forte : non plus l’invariance sous une phase constante, mais sous une phase dépendant du point de l’espace-temps. On considère donc une transformation locale de la forme
\[\psi(x) \longrightarrow \psi'(x) = e^{i\theta(x)}\psi(x)\]
Le problème apparaît immédiatement lorsque l’on calcule la dérivée du champ transformé :
\[\partial_{\mu}\psi'(x) = \partial_{\mu}(e^{i\theta(x)}\psi(x)) = e^{i\theta(x)}\partial_{\mu}\psi(x) + i(\partial_{\mu}\theta(x))\text{ }e^{i\theta(x)}\psi(x)\]
Contrairement au cas global, la dérivation agit désormais aussi sur la phase \(\theta(x)\). En injectant cette expression dans le lagrangien libre, un terme supplémentaire apparaît :
\[\mathcal{L}_{\text{libre}}’ = \mathcal{L}_{\text{libre}} – \overset{ˉ}{\psi}\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}\theta)\psi\]
Le lagrangien libre n’est donc plus invariant sous une transformation de phase locale. La dérivée ordinaire \(\partial_{\mu}\ \)n’est pas compatible avec cette symétrie locale.
Pour restaurer l’invariance, il faut modifier la théorie. L’idée est d’introduire une nouvelle dérivée, appelée dérivée covariante, notée \(\mathbf{D}_{\mathbf{\mu}}\), qui se transforme de la même manière que le champ lui-même. On impose donc la condition de covariance
\[D_{\mu}\psi'(x) = e^{i\theta(x)}D_{\mu}\psi(x)\]
On cherche alors une expression de la forme
\[D_{\mu} = \partial_{\mu} – igA_{\mu}\]
Où \(A_{\mu}(x)\ \)est un nouveau champ vectoriel, et \(g\ \)une constante de couplage.
Vérifions sous quelle condition cette dérivée covariante satisfait la propriété voulue. On calcule
\[D_{\mu}’\psi’ = (\partial_{\mu} – igA_{\mu}’)e^{i\theta}\psi = e^{i\theta}\partial_{\mu}\psi + i(\partial_{\mu}\theta)e^{i\theta}\psi – igA_{\mu}’e^{i\theta}\psi\]
Pour que cette expression soit égale à
\[e^{i\theta}D_{\mu}\psi = e^{i\theta}(\partial_{\mu} – igA_{\mu})\psi,\]
il faut que les termes supplémentaires se compensent. On obtient alors la loi de transformation du champ vectoriel :
\[A_{\mu}’ = A_{\mu} + \frac{1}{g}\partial_{\mu}\theta\]
Selon les conventions de signe adoptées dans la définition de \(D_{\mu}\), cette transformation peut aussi s’écrire avec un signe opposé. L’essentiel est qu’elle compense exactement le terme provenant de la dérivation de la phase locale.
On dispose alors d’un nouvel objet, la dérivée covariante, qui permet de construire un lagrangien invariant sous les transformations locales de jauge :
\[\mathcal{L}_{\text{Dirac-jaug}\overset{ˊ}{\text{e}}} = \overset{ˉ}{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} – m)\psi\]
En développant \(D_{\mu}\), on obtient
\[\mathcal{L}_{\text{Dirac-jaug}\overset{ˊ}{\text{e}}} = \overset{ˉ}{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} – m)\psi + g\text{ }\overset{ˉ}{\psi}\gamma^{\mu}\psi\text{ }A_{\mu}\]
Le second terme est précisément le terme d’interaction entre le champ fermionique \(\mathbf{\psi\ }\)et le champ vectoriel \(\mathbf{A}_{\mathbf{\mu}}\). Il n’est donc pas ajouté arbitrairement : il apparaît comme une conséquence nécessaire de l’exigence d’invariance de jauge locale.
Il reste alors à donner une dynamique propre au champ \(A_{\mu}\). Pour cela, on introduit le tenseur de champ
\[F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} – \partial_{\nu}A_{\mu}\]
Ce tenseur est invariant de jauge dans le cas abélien \(U(1)\), car les dérivées croisées de \(\theta(x)\ \)se compensent :
\[F_{\mu\nu}’ = F_{\mu\nu}\]
On peut donc construire le lagrangien libre du champ de jauge sous la forme
\[\mathcal{L}_{\text{jauge}} = – \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\]
Le lagrangien total de l’électrodynamique quantique classique s’écrit ainsi
\[\mathcal{L}_{\text{QED}}\mathbf{=}\overset{ˉ}{\mathbf{\psi}}\mathbf{(i}\mathbf{\gamma}^{\mathbf{\mu}}\mathbf{D}_{\mathbf{\mu}}\mathbf{- m)\psi -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{F}_{\mathbf{\mu\nu}}\mathbf{F}^{\mathbf{\mu\nu}}\]
Ce lagrangien est invariant sous les transformations simultanées
\[\psi(x) \longrightarrow e^{i\theta(x)}\psi(x),\ \overset{ˉ}{\psi}(x) \longrightarrow \overset{ˉ}{\psi}(x)e^{- i\theta(x)},{\ A}_{\mu}(x) \longrightarrow A_{\mu}(x) + \frac{1}{g}\partial_{\mu}\theta(x)\]
On reconnaît ici la structure d’une théorie de jauge abélienne. Le groupe sous-jacent est le groupe \(U(1)\), formé des phases complexes \(e^{i\theta}\). Ce groupe est abélien, ce qui signifie que ses éléments commutent entre eux. C’est précisément cette propriété qui rend la loi de transformation du champ \(A_{\mu}\ \)relativement simple.
Du point de vue physique, le champ \(\mathbf{A}_{\mathbf{\mu}}\mathbf{\ }\)est identifié au potentiel électromagnétique, et son quantum au photon. La constante \(g\ \)mesure l’intensité du couplage entre le champ de Dirac et le champ électromagnétique. Dans le cas de l’électrodynamique quantique, elle est reliée à la charge électrique. Plus généralement, la dérivée covariante s’écrit
\[D_{\mu} = \partial_{\mu} – ig\text{ }Q\text{ }A_{\mu}\]
Où \(Q\) est l’opérateur de charge associé au générateur du groupe \(U(1)\). Dans le cas le plus simple, \(Q\ \)agit sur le champ par multiplication par sa charge électrique.
Ainsi, l’interaction électromagnétique peut être comprise comme la conséquence directe d’un principe de symétrie locale. L’exigence d’invariance sous les transformations de phase locales ne se contente pas de contraindre la forme du lagrangien : elle impose l’existence d’un champ de jauge et fixe la structure du couplage entre ce champ et la matière. C’est cette idée, extrêmement simple dans son principe mais très profonde dans ses conséquences, qui servira de point de départ à la généralisation vers les théories de jauge non abéliennes.
Extension aux théories de jauge non abéliennes
Le succès de l’invariance de jauge locale dans le cas de l’électromagnétisme suggère naturellement de généraliser ce principe à des symétries plus riches. L’idée consiste à remplacer le groupe abélien \(U(1)\), caractérisé par une simple phase, par des groupes de Lie plus généraux, en particulier les groupes unitaires spéciaux \(SU(n)\), dont les éléments ne commutent pas en général. On entre alors dans le cadre des théories de jauge non abéliennes.
Dans ce contexte, le champ de matière n’est plus un simple champ scalaire ou un spineur unique, mais un multiplet de champs, que l’on peut représenter comme un vecteur
\[\psi(x) \in \mathbb{C}^{n}\]
sur lequel agit le groupe \(SU(n)\). Une transformation de jauge locale s’écrit alors
\[\psi(x) \longrightarrow \psi'(x) = U(x)\psi(x)\]
Où
\[U(x) = \exp(i\theta^{a}(x)T^{a})\]
Et où les \(T^{a}\ \)sont les générateurs de l’algèbre de Lie \(\mathfrak{su}(n)\).
Ces générateurs jouent un rôle central. Ce sont des matrices hermitiennes de trace nulle, qui vérifient les relations de commutation
\[\lbrack T^{a},T^{b}\rbrack = if^{abc}T^{c}\]
Où les \(f^{abc}\) sont les constantes de structure de l’algèbre. Le fait que ces générateurs ne commutent pas est précisément ce qui distingue les groupes non abéliens du cas \(U(1)\).
Comme dans le cas abélien, on cherche à imposer l’invariance du lagrangien sous des transformations locales. Mais ici encore, la dérivée ordinaire \(\partial_{\mu}\ \)ne se transforme pas correctement :
\[\partial_{\mu}\psi'(x) = (\partial_{\mu}U)\psi + U\text{ }\partial_{\mu}\psi\]
Le terme \((\partial_{\mu}U)\psi\ \)empêche l’invariance du lagrangien libre.
On introduit donc, comme précédemment, une dérivée covariante, définie cette fois par
\[D_{\mu} = \partial_{\mu} – ig\text{ }A_{\mu}\]
Où le champ de jauge \(A_{\mu}(x)\ \)prend désormais des valeurs dans l’algèbre de Lie :
\[A_{\mu}(x) = A_{\mu}^{a}(x)\text{ }T^{a}\]
Contrairement au cas abélien, il ne s’agit plus d’un simple champ vectoriel, mais d’un ensemble de champs \(A_{\mu}^{a}\), au nombre égal à celui des générateurs du groupe.
La condition de covariance s’écrit, comme précédemment,
\[D_{\mu}\psi'(x) = U(x)D_{\mu}\psi(x)\]
Cette condition impose une loi de transformation du champ de jauge. Un calcul explicite montre que celle-ci est donnée par
\[A_{\mu}'(x) = U(x)A_{\mu}(x)U^{- 1}(x) + \frac{i}{g}\text{ }(\partial_{\mu}U(x))U^{- 1}(x)\]
Cette transformation est beaucoup plus riche que dans le cas abélien. En particulier, le premier terme contient un produit de matrices qui ne commutent pas, ce qui introduit des effets nouveaux absents en électromagnétisme.
On peut alors construire le lagrangien du champ de matière couplé au champ de jauge :
\[\mathcal{L}_{\text{mati}\overset{ˋ}{\text{e}}\text{re}} = \overset{ˉ}{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} – m)\psi\]
Comme dans le cas abélien, le développement de \(D_{\mu}\ \)fait apparaître un terme d’interaction :
\[g\text{ }\overset{ˉ}{\psi}\gamma^{\mu}T^{a}\psi\text{ }A_{\mu}^{a}\]
Ce terme décrit le couplage entre les champs de matière et les champs de jauge.
Pour compléter la théorie, il faut introduire la dynamique propre du champ de jauge. On généralise pour cela le tenseur de champ électromagnétique en définissant
\[F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} – \partial_{\nu}A_{\mu} – ig\text{ }\lbrack A_{\mu},A_{\nu}\rbrack\]
En composantes, cela donne
\[F_{\mu\nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} – \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + g\text{ }f^{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}\]
Le terme supplémentaire en \(A_{\mu}A_{\nu}\ \)est une conséquence directe de la non-commutativité des générateurs. Il n’existe pas dans le cas abélien, où le commutateur est nul.
Le lagrangien du champ de jauge s’écrit alors
\[\mathcal{L}_{\text{jauge}} = – \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^{a}F^{\mu\nu a}\]
Un point fondamental apparaît ici : contrairement au cas de l’électromagnétisme, ce lagrangien contient des termes quadratiques, cubiques et quartiques en les champs \(A_{\mu}^{a}\). Autrement dit, les bosons de jauge interagissent entre eux. Ces auto-interactions sont une caractéristique essentielle des théories de jauge non abéliennes.
Du point de vue physique, le nombre de champs de jauge est égal au nombre de générateurs du groupe :
- Pour \(SU(2)\), il y a 3 générateurs → 3 bosons de jauge,
- Pour \(SU(3)\), il y a 8 générateurs → 8 bosons de jauge.
Ces structures apparaissent directement dans les théories fondamentales :
- Le groupe \(SU(2)\ \)est associé à l’interaction faible,
- Le groupe \(SU(3)\ \)est associé à l’interaction forte (chromodynamique quantique).
Dans ces théories, les champs de jauge \(A_{\mu}^{a}\ \)correspondent respectivement aux bosons vecteurs de l’interaction (bosons faibles ou gluons), et leur structure non abélienne est à l’origine de propriétés physiques profondes, comme l’auto-interaction des gluons en chromodynamique quantique.
L’extension du principe d’invariance de jauge locale à des groupes non abéliens conduit à une structure mathématique remarquablement contraignante. À partir d’une simple exigence de symétrie locale, on obtient non seulement la forme du couplage entre champs de matière et champs de jauge, mais aussi la dynamique propre de ces derniers, incluant leurs auto-interactions.
Ainsi, les interactions fondamentales ne sont pas introduites de manière ad hoc : elles émergent naturellement du principe d’invariance locale. Cette idée constitue l’un des piliers du modèle standard, où les interactions électromagnétique, faible et forte sont toutes décrites comme des théories de jauge associées à des groupes de Lie.
L’interaction faible et le groupe SU(2)
Un exemple fondamental de théorie de jauge non abélienne est fourni par l’interaction faible, qui est décrite par une symétrie locale associée au groupe \(SU(2)\). Contrairement au cas de l’électromagnétisme, où le groupe \(U(1)\ \)agit sur un champ via une simple phase, le groupe \(SU(2)\ \)agit sur des objets plus riches, appelés multiplets, qui sont des vecteurs de dimension finie.
On considère ainsi un champ de matière \(\psi(x)\)prenant ses valeurs dans \(\mathbb{C}^{2}\), que l’on peut écrire sous la forme d’un doublet
\[\psi(x) = \left( \begin{array}{r} \psi_{1}(x) \\ \psi_{2}(x) \end{array} \right)\]
Dans le cadre du modèle standard, ce doublet correspond par exemple au doublet des leptons
\[\left( \begin{array}{r} \nu_{e} \\ e \end{array} \right)\]
Ceci traduit le fait que ces deux particules sont liées par la symétrie faible.
Une transformation de jauge locale du groupe \(SU(2)\ \)agit sur ce doublet selon
\[\psi(x) \longrightarrow \psi'(x) = U(x)\psi(x)\]
Où
\[U(x) = \exp(i\theta^{a}(x)T^{a})\]
Les \(T^{a}\), avec \(a = 1,2,3\), étant les générateurs de l’algèbre de Lie \(\mathfrak{su}(2)\). Ces générateurs sont des matrices hermitiennes de trace nulle, et une base naturelle est donnée par les matrices de Pauli \(\sigma^{a}\), normalisées selon
\[T^{a} = \frac{1}{2}\sigma^{a}\]
Elles vérifient les relations de commutation
\[\lbrack T^{a},T^{b}\rbrack = i\text{ }\varepsilon^{abc}T^{c}\]
Ceci exprime le caractère non abélien du groupe \(SU(2)\).
Comme dans le cas général des théories de jauge, la dérivée ordinaire \(\partial_{\mu}\ \)ne permet pas de construire un lagrangien invariant sous ces transformations locales. En effet, la dérivation du champ transformé fait apparaître un terme supplémentaire proportionnel à \(\partial_{\mu}U(x)\), qui brise l’invariance de jauge. Pour remédier à cela, on introduit une dérivée covariante définie par
\[D_{\mu} = \partial_{\mu} – ig\text{ }A_{\mu}\]
Où le champ de jauge \(A_{\mu}(x)\ \)prend ses valeurs dans l’algèbre de Lie :
\[A_{\mu}(x) = A_{\mu}^{a}(x)\text{ }T^{a}\]
Le champ de jauge est donc constitué de trois champs vectoriels \(A_{\mu}^{1},A_{\mu}^{2},A_{\mu}^{3}\), en correspondance directe avec les trois générateurs du groupe.
La dérivée covariante agit sur le doublet de la manière suivante :
\[D_{\mu}\psi = \left( \partial_{\mu}-ig\text{ }A_{\mu}^{a}T^{a} \right)\psi\]
Elle est construite précisément pour vérifier la propriété de covariance
\[D_{\mu}\psi'(x) = U(x)D_{\mu}\psi(x)\]
Cette propriété impose une loi de transformation spécifique pour les champs \(A_{\mu}^{a}\), qui garantit l’invariance du lagrangien.
Le lagrangien du champ de matière s’écrit alors
\[\mathcal{L}_{\text{mati}\overset{ˋ}{\text{e}}\text{re}} = \overset{ˉ}{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} – m)\psi\]
En développant la dérivée covariante, on fait apparaître un terme d’interaction
\[g\text{ }\overset{ˉ}{\psi}\gamma^{\mu}T^{a}\psi\text{ }A_{\mu}^{a}\]
Ce terme décrit le couplage entre le champ fermionique et les champs de jauge. Comme dans le cas abélien, ce terme n’est pas introduit arbitrairement : il est imposé par l’invariance de jauge locale.
La dynamique des champs de jauge est décrite par un tenseur de champ généralisé, défini par
\[F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} – \partial_{\nu}A_{\mu} – ig\text{ }\lbrack A_{\mu},A_{\nu}\rbrack\]
En composantes, cela donne
\[F_{\mu\nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} – \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + g\text{ }\varepsilon^{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}\]
Le terme non linéaire en \(A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}\)est une conséquence directe du fait que les générateurs \(T^{a}\) ne commutent pas. Il n’apparaît pas dans le cas abélien et constitue une caractéristique essentielle des théories non abéliennes.
Le lagrangien du champ de jauge s’écrit alors
\[\mathcal{L}_{\text{jauge}} = – \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^{a}F^{\mu\nu a}\]
En développant ce terme, on observe l’apparition de contributions quadratiques, mais aussi cubiques et quartiques en les champs \(A_{\mu}^{a}\). Cela signifie que les bosons de jauge interagissent entre eux, ce qui constitue une différence majeure avec l’électromagnétisme, où le photon n’est pas auto-interagissant.
Du point de vue physique, les trois champs de jauge associés au groupe \(\mathbf{SU(2)\ }\)correspondent aux bosons de l’interaction faible. Après un mécanisme de brisure de symétrie (qui dépasse le cadre de cet article), ces champs se recombinent pour donner les bosons physiques \(W^{+}\), \(W^{- \ }\)et \(Z^{0}\). Le fait que ces bosons soient massifs distingue profondément l’interaction faible des autres interactions de jauge simples.
Ainsi, le passage du groupe abélien \(U(1)\) au groupe non abélien \(SU(2)\ \)enrichit considérablement la structure de la théorie. L’invariance de jauge locale impose non seulement l’existence de plusieurs champs de jauge, mais aussi leurs interactions mutuelles. Cette construction illustre de manière particulièrement claire le rôle central des groupes de Lie dans la description des interactions fondamentales.
L’interaction forte et le groupe SU(3)
L’interaction forte constitue un second exemple fondamental de théorie de jauge non abélienne. Elle est décrite par une symétrie locale associée au groupe \(SU(3)\), qui agit sur un espace interne de dimension 3. Contrairement au cas de l’interaction faible, où les champs de matière sont organisés en doublets, les champs fondamentaux de l’interaction forte, les quarks, sont décrits par des triplets.
On considère ainsi un champ de quark \(\psi(x)\ \)prenant ses valeurs dans \(\mathbb{C}^{3}\), que l’on peut écrire sous la forme
\[\psi(x) = \left( \begin{array}{r} \psi_{1}(x) \\ \psi_{2}(x) \\ \psi_{3}(x) \end{array} \right)\]
Ces trois composantes correspondent aux trois « charges de couleur », qui constituent le degré de liberté interne fondamental de la chromodynamique quantique. Il ne s’agit pas de couleurs au sens usuel, mais d’un espace abstrait sur lequel agit le groupe \(SU(3)\).
Une transformation de jauge locale s’écrit alors
\[\psi(x) \longrightarrow \psi'(x) = U(x)\psi(x)\]
Où
\[U(x) = \exp(i\theta^{a}(x)T^{a})\]
Les \(T^{a}\), avec \(a = 1,\ldots,8\), étant les générateurs de l’algèbre de Lie \(\mathfrak{su}(3)\). Cette algèbre est de dimension 8, ce qui signifie qu’il existe huit générateurs indépendants.
Dans la représentation fondamentale, ces générateurs sont donnés par les matrices de Gell-Mann \(\lambda^{a}\), normalisées selon
\[T^{a} = \frac{1}{2}\lambda^{a}\]
Ces matrices sont hermitiennes, de trace nulle, et vérifient les relations de commutation
\[\lbrack T^{a},T^{b}\rbrack = if^{abc}T^{c}\]
Où les \(f^{abc}\ \)sont les constantes de structure de \(\mathfrak{su}(3)\). Le fait que ces constantes ne soient pas nulles traduit le caractère non abélien du groupe.
Comme précédemment, la dérivée ordinaire ne permet pas de construire un lagrangien invariant sous ces transformations locales. On introduit donc une dérivée covariante définie par
\[D_{\mu} = \partial_{\mu} – ig\text{ }A_{\mu}\]
Où le champ de jauge \(A_{\mu}(x)\ \)prend ses valeurs dans l’algèbre :
\[A_{\mu}(x) = A_{\mu}^{a}(x)\text{ }T^{a}\]
On dispose ainsi de huit champs vectoriels \(A_{\mu}^{a}\), en correspondance avec les huit générateurs du groupe \(SU(3)\).
La dérivée covariante agit sur le champ de quark selon
\[D_{\mu}\psi = \left( \partial_{\mu}-ig\text{ }A_{\mu}^{a}T^{a} \right)\psi\]
Elle est construite de manière à vérifier la propriété de covariance sous les transformations locales de jauge. Le lagrangien du champ de matière s’écrit alors
\[\mathcal{L}_{\text{mati}\overset{ˋ}{\text{e}}\text{re}} = \overset{ˉ}{\psi}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} – m)\psi\]
Ceci introduit un terme d’interaction
\[g\text{ }\overset{ˉ}{\psi}\gamma^{\mu}T^{a}\psi\text{ }A_{\mu}^{a}\]
Il décrit le couplage entre les quarks et les champs de jauge.
La dynamique des champs de jauge est déterminée par le tenseur de champ
\[F_{\mu\nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} – \partial_{\nu}A_{\mu} – ig\text{ }\lbrack A_{\mu},A_{\nu}\rbrack\]
En composantes, on obtient
\[F_{\mu\nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} – \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + g\text{ }f^{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}\]
Comme dans le cas de \(SU(2)\), le terme non linéaire en \(A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}\ \)est une conséquence directe de la non-commutativité des générateurs. Il implique que les champs de jauge interagissent entre eux.
Le lagrangien du champ de jauge s’écrit alors
\[\mathcal{L}_{\text{jauge}} = – \frac{1}{4}F_{\mu\nu}^{a}F^{\mu\nu a}\]
Son développement fait apparaître des termes quadratiques, cubiques et quartiques en les champs \(A_{\mu}^{a}\), traduisant l’existence d’interactions entre les bosons de jauge eux-mêmes.
Du point de vue physique, les huit champs \(\mathbf{A}_{\mathbf{\mu}}^{\mathbf{a}}\mathbf{\ \ }\)correspondent aux huit gluons, qui sont les particules médiatrices de l’interaction forte. Contrairement au photon, les gluons portent eux-mêmes la charge associée à l’interaction, la charge de couleur, ce qui explique leur capacité à interagir entre eux. Cette propriété est à l’origine de phénomènes caractéristiques de l’interaction forte, tels que le confinement des quarks et la structure complexe des hadrons.
Ainsi, la théorie de jauge associée au groupe \(SU(3)\ \)fournit un cadre mathématique cohérent pour décrire l’interaction forte. Comme dans les autres cas, la structure du lagrangien est entièrement déterminée par l’exigence d’invariance de jauge locale. Le passage à un groupe de dimension plus élevée enrichit encore la théorie, en introduisant un plus grand nombre de champs de jauge et une structure d’interactions plus complexe.
Conclusion
L’étude des invariances de jauge met en évidence un principe structurant de la théorie quantique des champs : les interactions fondamentales peuvent être déduites de considérations de symétrie locale. À partir d’un lagrangien libre, l’exigence d’invariance sous des transformations dépendant de l’espace-temps impose l’introduction de champs de jauge, dont la dynamique et les couplages avec les champs de matière sont entièrement contraints par la structure du groupe de symétrie considéré.
Dans le cas du groupe abélien \(\mathbf{U(1)}\), cette démarche conduit à l’électrodynamique quantique, où un unique champ de jauge, le photon, médie l’interaction électromagnétique, sans auto-interaction. Le passage à des groupes non abéliens, tels que \(SU(2)\ \)et \(SU(3)\), enrichit considérablement cette structure : plusieurs champs de jauge apparaissent, en nombre égal à celui des générateurs du groupe, et ces champs interagissent entre eux en raison de la non-commutativité des générateurs.
Ainsi, le groupe \(\mathbf{SU(2)\ }\)permet de décrire l’interaction faible à travers trois bosons de jauge, tandis que le groupe \(\mathbf{SU(3)\ }\)rend compte de l’interaction forte via huit gluons. Dans chacun de ces cas, la forme du lagrangien, les termes d’interaction et même la nature des bosons médiateurs ne sont pas introduits arbitrairement, mais découlent directement de la structure de l’algèbre de Lie associée.
Cette unification conceptuelle constitue l’un des fondements du modèle standard de la physique des particules, où les interactions électromagnétique, faible et forte apparaissent comme des manifestations d’un même principe : l’invariance de jauge locale associée à des groupes de Lie. Elle illustre de manière particulièrement claire le rôle central des structures algébriques dans la description des lois fondamentales de la nature.