L’électromagnétisme classique, tel qu’il est formulé à partir des équations de Maxwell, constitue l’un des premiers exemples de théorie de champ présentant une symétrie fondamentale appelée invariance de jauge. Cette propriété, qui peut sembler au premier abord purement mathématique, joue en réalité un rôle central dans la compréhension des interactions physiques.
Dans la formulation standard, les champs électrique et magnétique sont décrits à partir de potentiels, un potentiel scalaire \(\varphi\ \)et un potentiel vecteur \(\mathbf{A}\). Ces potentiels ne sont cependant pas définis de manière unique : différentes paires \(\left( \varphi,\mathbf{A} \right)\ \)peuvent correspondre aux mêmes champs physiques \(\mathbf{E\ }\)et \(\mathbf{B}\). Cette non-unicité n’est pas un défaut de la théorie, mais au contraire le signe d’une symétrie profonde.
L’objectif de cet article est de montrer comment cette invariance de jauge se manifeste dans le cadre de la mécanique analytique. Nous verrons que les transformations de jauge laissent invariantes les équations de Maxwell, mais également les équations du mouvement d’une particule chargée. Cette invariance repose sur le fait que le Lagrangien n’est modifié que par une dérivée totale, ce qui ne change pas les équations d’Euler-Lagrange. Ainsi, l’invariance de jauge apparaît comme une propriété structurante de la théorie, reliant la description des champs à la dynamique des particules.
Les potentiels \(\varphi\ \)et \(\mathbf{A\ }\)ne sont pas directement observables : les seules grandeurs physiques mesurables sont les champs \(\mathbf{E\ }\)et \(\mathbf{B}\). Le fait que ces champs puissent être exprimés à partir de potentiels introduit une redondance dans la description du système. Cette redondance est précisément ce que formalise l’invariance de jauge : elle exprime le fait que plusieurs descriptions mathématiques distinctes correspondent à une même réalité physique.
Les équations de Maxwell permettent d’exprimer les champs électrique E et magnétique B à partir de potentiels scalaire φ et vecteur A suivant les formules ci-dessous :
\[\nabla.B = 0\ et\ \nabla \times E = – \frac{\partial B}{\partial t}\ \ \rightarrow \ \ B = \nabla \times A\ et\ E = – \nabla\varphi – \frac{\partial A}{\partial t}\]
On considère une particule de masse m et de charge q placée dans un champ électromagnétique. On note \(r\) et \(\dot{r}\) respectivement la position et la vitesse de cette particule. Dans le cadre de la physique classique, c’est-à-dire à la fois non quantique et non relativiste, le Lagrangien de cette particule s’exprime de la façon suivante :
\[L = \frac{1}{2}m{\dot{r}}^{2} + q\dot{r}A(r,t) – q\varphi(r,t)\]
On peut vérifier, en appliquant l’équation d’Euler-Lagrange à ce Lagrangien qu’on trouve bien l’équation de la dynamique d’une particule soumise à la force de Lorentz.
L’invariance de jauge de l’électromagnétisme précise que toute transformation de ces potentiels scalaire φ et vecteur A qui a la forme suivante, laisse invariante les équations de Maxwell :
\[A \rightarrow A’ = A + \nabla f(r,t)\ et\ \varphi \rightarrow \varphi’ = \varphi – \frac{\partial f(r,t)}{\partial t}\ où\ f(r,t)\ est\ une\ fonction\ arbitraire\]
On peut vérifier directement que les champs physiques sont invariants sous cette transformation. En effet,
\[\mathbf{B}’ = \nabla \times \mathbf{A}’ = \nabla \times (\mathbf{A} + \nabla f) = \nabla \times \mathbf{A} = \mathbf{B}, \]
Car le rotationnel d’un gradient est nul. De même,
\[\mathbf{E}’ = – \nabla\varphi’ – \frac{\partial\mathbf{A}’}{\partial t} = – \nabla\left( \varphi-\frac{\partial f}{\partial t} \right) – \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{A} + \nabla f) = \mathbf{E}\]
Les champs électriques et magnétiques sont donc invariants sous transformation de jauge, ce qui confirme que cette transformation ne modifie pas le contenu physique de la théorie.
Calculons désormais le nouveau Lagrangien après cette transformation :
\[L’ = \frac{1}{2}m{\dot{r}}^{2} + q\dot{r}\left\lbrack A + \nabla f(r,t) \right\rbrack – q\left\lbrack \varphi – \frac{\partial f(r,t)}{\partial t} \right\rbrack = L + q\dot{r}\ \nabla f(r,t) + q\frac{\partial f(r,t)}{\partial t}\]
Ce qui peut aussi s’écrire :
\[L’ = L + q\ \left\lbrack \dot{r}\ \nabla f(r,t) + \frac{\partial f(r,t)}{\partial t} \right\rbrack = L + q\ \frac{d}{dt}\left( f(r,t) \right)\ \]
En revenant au formalisme de la mécanique analytique, on obtient la trajectoire de la particule en minimisant l’action \(S = \int L\text{ }dt\ \)via les équations d’Euler-Lagrange. Lorsque l’on effectue la transformation de jauge locale
\[\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}’ = \mathbf{A} + \nabla f(\mathbf{r},t),\varphi \rightarrow \varphi’ = \varphi – \frac{\partial f}{\partial t}, \]Le nouveau Lagrangien devient \(L’ = L + q\frac{df}{dt}\).
Le terme supplémentaire \(q\frac{d}{dt}f(r,t)\ \)est une dérivée totale. Son intégrale dans l’action s’écrit :
\[\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d}{dt}f(r,t)\text{ }dt = f(r(t_{2}),t_{2}) – f(r(t_{1}),t_{1})\]
C’est-à-dire une contribution uniquement dépendante des bornes. Comme en calcul variationnel on fixe les extrémités, cette contribution n’affecte pas les équations d’Euler-Lagrange.
En conséquence, les équations de la dynamique d’une particule chargée dans un champ électromagnétique restent inchangées : le choix particulier des potentiels \(\varphi\ \)et \(A\mathbf{\ }\)n’affecte pas l’évolution physique de la particule. C’est précisément ce que garantit l’invariance de jauge locale : différentes configurations de potentiels, liées par une transformation de jauge, décrivent la même réalité physique.
L’invariance de jauge en électromagnétisme classique met en évidence une propriété fondamentale des théories physiques : la description mathématique d’un système peut contenir une redondance sans que cela n’affecte les observables physiques. Les potentiels \(\varphi\ \)et \(\mathbf{A\ }\)ne sont pas uniques, mais les champs \(\mathbf{E\ }\)et \(\mathbf{B}\), qui déterminent les phénomènes physiques, restent invariants sous les transformations de jauge.
Dans le cadre de la mécanique analytique, cette invariance se traduit par le fait que le Lagrangien est modifié uniquement par une dérivée totale, ce qui garantit l’invariance des équations du mouvement. Ainsi, la dynamique d’une particule chargée ne dépend pas du choix particulier des potentiels, mais uniquement des champs physiques.
Au-delà de cet exemple, l’invariance de jauge joue un rôle central dans la physique moderne. Elle constitue le principe fondateur des théories des interactions fondamentales, où les symétries locales déterminent la structure même des lois physiques. L’électromagnétisme apparaît ainsi comme le prototype le plus simple d’une théorie de jauge, dont les extensions conduisent aux théories quantiques des champs décrivant l’ensemble des interactions connues.