La propagation de la lumière a longtemps été décrite à l’aide de lois empiriques, établies à partir de l’observation expérimentale des phénomènes de réflexion et de réfraction. Parmi celles-ci, les lois de Snell-Descartes occupent une place centrale en optique géométrique, en reliant les angles d’incidence et de réfraction aux propriétés des milieux traversés. Toutefois, ces lois ne constituent pas seulement des résultats expérimentaux : elles peuvent également être déduites d’un principe variationnel fondamental, connu sous le nom de principe de Fermat.
Ce principe repose sur une idée simple mais profonde : la lumière emprunte, entre deux points, le trajet pour lequel le temps de parcours est stationnaire, et en particulier minimal dans la plupart des situations physiques. Il s’inscrit ainsi dans une perspective plus générale d’optimisation, que l’on retrouve dans de nombreux domaines de la physique. L’objectif de cet article est de montrer comment, à partir de ce principe, on peut retrouver de manière rigoureuse les lois de la réfraction, en mettant en évidence le rôle joué par l’indice optique des milieux et la géométrie du problème.
Imaginons une lumière passant d’un point A dans un milieu 1 (indice \(n_{1}\)) à un point B dans un milieu 2 (indice \(n_{2}\)), en traversant une surface plane de séparation.
On prend un repère avec :
- L’interface entre les deux milieux au niveau de l’axe x,
- Le point A à la position \(\left( x_{A},y_{A} \right)\) dans le milieu \(n_{1}\),
- Le point B à la position \(\left( x_{B},y_{B} \right)\) dans le milieu \(n_{2}\),
- Le point d’incidence (point du dioptre par lequel passe le rayon) \(I = (x,0)\) est inconnu et se trouve sur l’interface.
Temps de parcours total : Dans chaque milieu, la vitesse de la lumière est \(v_{i} = \frac{c}{n_{i}}\). Ainsi le temps de parcours est :
\[T = T_{1} + T_{2} = \frac{AI}{v_{1}} + \frac{IB}{v_{2}} = \frac{n_{1}}{c} \cdot AI + \frac{n_{2}}{c} \cdot IB\]
Avec :
\[AI = \sqrt{\left( x – x_{A} \right)^{2} + y_{A}^{2}}\]
\[IB = \sqrt{\left( x\, – \, x_{B} \right)^{2}\, + \, y_{B}^{2}}\]
Donc :
\[T(x) = \frac{n_{1}}{c}\sqrt{\left( x – x_{A} \right)^{2} + y_{A}^{2}} + \frac{n_{2}}{c}\sqrt{\left( x – x_{B} \right)^{2} + y_{B}^{2}}\]
On cherche le point x qui minimise ce temps : on dérive T(x) et on résout \(\frac{\mathbf{dT}}{\mathbf{dx}} = \mathbf{0}\).
Calcul de la dérivée : La dérivée du temps de parcours par rapport à x donne :
\[\frac{dT}{dx} = \frac{n_{1}}{c} \cdot \frac{x – x_{A}}{\sqrt{\left( x – x_{A} \right)^{2} + y_{A}^{2}}} + \frac{n_{2}}{c} \cdot \frac{x – x_{B}}{\sqrt{\left( x – x_{B} \right)^{2} + y_{B}^{2}}} = 0\]
Posons alors :
\(\theta_{1}\) = angle d’incidence (entre le rayon incident et la normale),
\(\theta_{2}\) = angle de réfraction.
On a par la géométrie :
\[\sin\theta_{1} = \frac{x – x_{A}}{AI},\quad\sin\theta_{2} = \frac{x – x_{B}}{IB}\]
On retrouve la loi de Snell-Descartes :
\[\mathbf{n}_{\mathbf{1}}\mathbf{\sin}\mathbf{\theta}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{n}_{\mathbf{2}}\mathbf{\sin}\mathbf{\theta}_{\mathbf{2}}\]
La démonstration présentée met en évidence le caractère profondément unificateur du principe de Fermat. À partir d’une simple condition d’extremum sur le temps de parcours, on retrouve directement la loi de Snell-Descartes, qui régit la réfraction de la lumière à l’interface entre deux milieux. Ce résultat illustre la puissance des méthodes variationnelles en physique, capables de condenser en un principe unique des lois apparemment distinctes.
Au-delà de ce cadre élémentaire, le principe de Fermat constitue une porte d’entrée vers des formulations plus générales de la physique, notamment en mécanique analytique avec le principe de moindre action. Il révèle ainsi une structure profonde des lois physiques, où les trajectoires observées ne sont pas arbitraires, mais résultent d’un principe d’optimalité. L’étude de la réfraction apparaît alors non seulement comme un problème d’optique, mais aussi comme une première illustration d’une idée fondamentale qui traverse l’ensemble de la physique théorique.