On peut chercher à comprendre l’origine de l’équation de Schrödinger en adoptant une démarche proche de celle suivie historiquement par Erwin Schrödinger. Son point de départ consiste à s’inspirer des équations décrivant les phénomènes ondulatoires classiques, en particulier l’équation de Helmholtz, utilisée en acoustique, en optique ou en électromagnétisme pour décrire des ondes stationnaires.
Considérons une particule quantique non relativiste de masse \(m\), décrite par une fonction d’onde \(\Psi(\overrightarrow{r})\). Si l’on adopte l’idée introduite par Louis de Broglie selon laquelle toute particule matérielle est associée à une onde, il est naturel de supposer que cette fonction d’onde vérifie une équation de type Helmholtz. Cette équation apparaît naturellement dans l’étude des ondes stationnaires. Elle relie les variations spatiales de l’onde à sa longueur d’onde :
\[\left( \Delta+\frac{4\pi^{2}}{\lambda^{2}} \right)\Psi(\overrightarrow{r}) = 0\]
Par ailleurs, la particule possède une énergie donnée, dans le cadre non relativiste. Schrödinger suppose alors que, malgré son caractère ondulatoire, la particule doit continuer à vérifier l’expression classique de l’énergie dans la limite non relativiste :
\[E = \frac{1}{2}mv^{2} + V(\overrightarrow{r})\]
La relation de de Broglie permet de relier la description ondulatoire à la description corpusculaire :
\[\lambda = \frac{h}{mv}\]
On en déduit :
\[\frac{1}{\lambda^{2}} = \frac{m^{2}v^{2}}{h^{2}} = \frac{2m}{h^{2}}(E – V)\]
D’où :
\[\frac{4\pi^{2}}{\lambda^{2}} = \frac{8\pi^{2}m}{h^{2}}(E – V)\]
En injectant cette relation dans l’équation de Helmholtz, on obtient :
\[\Delta\Psi + \frac{8\pi^{2}m}{h^{2}}(E – V)\Psi = 0\]
En introduisant la constante réduite \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\), cette équation se réécrit sous la forme :
\[\mathbf{-}\frac{\mathbf{\hbar}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2m}}\mathbf{\Delta\Psi}\mathbf{+ V(}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{)}\mathbf{\Psi}\mathbf{= E}\mathbf{\Psi}\]
On obtient ainsi l’équation de Schrödinger stationnaire, qui permet de déterminer les états d’énergie d’une particule dans un potentiel donné. À ce stade, la signification physique exacte de la fonction d’onde reste encore incertaine. Schrödinger imagine initialement une véritable onde matérielle répartie dans l’espace. Ce n’est que quelques années plus tard, avec l’interprétation probabiliste proposée par Max Born, que le carré du module \(\mid \Psi \mid^{2}\ \)sera interprété comme une densité de probabilité de présence de la particule.
Cependant, cette équation ne décrit pas l’évolution temporelle du système. Pour introduire la dépendance au temps, Schrödinger considère une onde monochromatique de pulsation \(\omega\). Pour décrire l’évolution temporelle du système, Schrödinger cherche des solutions ondulatoires dont la dépendance spatiale et temporelle peuvent être séparées :
\[\Psi(t,\overrightarrow{r}) = \Psi(\overrightarrow{r})e^{- i\omega t}\]
Cette forme complexe est analogue à celle utilisée en électromagnétisme pour décrire des ondes monochromatiques. La dépendance oscillatoire réelle du système est obtenue en prenant la partie réelle de l’expression. En utilisant la relation d’Einstein \(E = \hbar\omega\), cette expression devient :
\[\Psi(t,\overrightarrow{r}) = \Psi(\overrightarrow{r})e^{- iEt/\hbar}\]
On en déduit que :
\[E\Psi(t,\overrightarrow{r}) = i\hbar\frac{\partial\Psi(t,\overrightarrow{r})}{\partial t}\]
L’expression précédente suggère alors une idée fondamentale : l’énergie pourrait être représentée non plus par un simple nombre, mais par une opération agissant sur la fonction d’onde. Schrödinger fait alors une étape décisive : il remplace l’énergie \(E\), qui apparaît dans l’équation stationnaire, par l’opérateur différentiel correspondant à cette relation temporelle. En appliquant ce principe, il obtient l’équation générale :
\[\mathbf{i}\mathbf{\hbar}\frac{\mathbf{\partial\Psi}\mathbf{(t,}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{)}}{\mathbf{\partial}\mathbf{t}}\mathbf{= -}\frac{\mathbf{\hbar}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2m}}\mathbf{\Delta\Psi}\mathbf{(t,}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{) + V(}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{)}\mathbf{\Psi}\mathbf{(t,}\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{)}\]
Le symbole \(\Delta\ \)désigne l’opérateur laplacien, qui mesure les variations spatiales de la fonction d’onde. Cette équation, appelée équation de Schrödinger dépendant du temps, constitue la loi fondamentale de la mécanique quantique non relativiste. Contrairement aux équations de Newton, qui déterminent directement la trajectoire d’un objet, l’équation de Schrödinger détermine l’évolution de la fonction d’onde, c’est-à-dire l’évolution des probabilités associées aux résultats possibles des mesures.
Ce passage d’une grandeur physique à un opérateur différentiel ne relève pas d’un simple artifice formel. Il s’inscrit dans une idée plus générale, qui sera systématisée quelques années plus tard par Paul Dirac : le principe de correspondance. Selon ce principe, les lois de la mécanique quantique doivent retrouver, dans la limite classique, les lois de la mécanique newtonienne, ce qui impose d’établir une correspondance entre les grandeurs physiques classiques et des opérateurs agissant sur les états quantiques.
Dans cette perspective, l’énergie et la quantité de mouvement ne sont plus décrites comme de simples nombres, mais comme des opérateurs. La relation obtenue pour une onde monochromatique est :
\[E\Psi = i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}\]
Elle suggère naturellement d’associer à l’énergie l’opérateur :
\[E \longrightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\]
De manière analogue, la relation de de Broglie conduit à associer à la quantité de mouvement l’opérateur :
\[\overrightarrow{p} \longrightarrow – i\hbar\nabla\]
Ces correspondances permettent de traduire les expressions de la mécanique classique en équations avec des opérateurs agissant sur la fonction d’onde. L’équation de Schrödinger apparaît ainsi comme la transcription quantique de la relation classique \(E = \frac{p^{2}}{2m} + V\), obtenue en remplaçant les grandeurs physiques par les opérateurs qui leur sont associés.
Il est important de souligner que cette démarche ne constitue pas une démonstration au sens mathématique strict. Elle repose sur une analogie physique et sur une intuition profonde, nourrie par les travaux de de Broglie. Schrödinger cherche avant tout une équation capable de décrire une particule vue comme une onde, et propose une forme dont la validité sera jugée a posteriori.
C’est en effet la confrontation avec l’expérience qui valide cette approche. L’équation de Schrödinger permet notamment de rendre compte avec une précision remarquable du spectre de l’atome d’hydrogène, ce qui constitue un succès majeur de la théorie.
Cette manière de procéder n’est pas propre à la mécanique quantique. Elle s’inscrit dans une tradition plus large de la physique, où les lois fondamentales sont souvent introduites sur la base d’intuitions physiques fortes avant d’être validées expérimentalement. Ainsi, lorsque Isaac Newton propose la relation \(F = ma\), il ne la déduit pas d’un cadre axiomatique, mais l’énonce comme un principe fondamental issu de l’observation. De même, les développements ultérieurs de la mécanique quantique, notamment ceux de Paul Dirac, reposeront eux aussi sur des analogies et des intuitions remarquablement fécondes.
Avec l’équation de Schrödinger, la physique cesse de décrire uniquement des trajectoires et des positions déterminées. Elle introduit une description fondamentalement ondulatoire et probabiliste de la matière, dans laquelle l’état physique d’un système est entièrement contenu dans une fonction d’onde.