Le principe de correspondance, formulé par Niels Bohr au début des années 1920, joue un rôle central dans la construction de la physique quantique naissante. Il énonce que toute théorie quantique doit retrouver les résultats de la physique classique dans le domaine où celle-ci est connue pour être valide, c’est-à-dire en particulier pour les systèmes de grande taille ou pour les nombres quantiques élevés. Autrement dit, la mécanique quantique ne remplace pas la physique classique : elle l’englobe et doit en reproduire les prédictions dans une certaine limite.
Ce principe fournit à la fois un guide conceptuel et un critère de validité pour les nouvelles théories. Il permet notamment de relier les grandeurs quantifiées introduites par Bohr à des grandeurs classiques bien établies, et de vérifier la cohérence du modèle atomique avec l’électromagnétisme de Maxwell.
Pour illustrer concrètement ce principe, on peut comparer la fréquence du rayonnement émis par un électron en mouvement dans deux cadres distincts : d’une part, la description classique issue de la théorie de Maxwell, dans laquelle un électron accéléré rayonne à la fréquence de son mouvement, et d’autre part, le modèle de Bohr, où le rayonnement résulte de transitions entre niveaux d’énergie discrets. L’objectif est de montrer que, dans la limite des grands nombres quantiques, ces deux descriptions conduisent à un même résultat.
Pour illustrer le principe de correspondance, on va comparer la fréquence de la lumière émise par un électron en périphérie d’un atome dans la théorie classique de l’électromagnétisme et dans le modèle de Bohr.
L’idée essentielle est la suivante : lorsqu’un électron occupe des niveaux quantiques très élevés, les écarts d’énergie entre niveaux voisins deviennent extrêmement petits. Le comportement du système doit alors progressivement se rapprocher de celui décrit par la physique classique.
Fréquence de rayonnement dans la théorie classique de l’électromagnétisme
Dans la théorie classique de l’électromagnétisme de James Clerk Maxwell, toute charge électrique accélérée émet un rayonnement électromagnétique. Un électron en mouvement circulaire autour d’un noyau atomique doit donc rayonner continuellement.
Dans cette description classique, la fréquence du rayonnement émis est simplement la fréquence du mouvement orbital de l’électron. Autrement dit, l’électron émet une onde électromagnétique à la même fréquence que sa rotation autour du noyau.
Considérons un électron décrivant une orbite circulaire de rayon \(r\ \)autour d’un proton. La fréquence de rotation est reliée à la période orbitale \(T\ \)par :
\[\nu_{Maxwell} = \frac{1}{T}\]
Or, pour un mouvement circulaire uniforme, la période est égale à la longueur de l’orbite divisée par la vitesse :
\[T = \frac{2\pi r}{v}\]
On obtient donc immédiatement :
\[\nu_{Maxwell} = \frac{v}{2\pi r}\]
La fréquence du rayonnement dépend donc directement de la vitesse orbitale de l’électron.
L’électron est soumis à la force d’attraction électrostatique exercée par le proton :
\[F_{Coulomb} = \frac{kq_{e}^{2}}{r^{2}}\]
Où :
- \(k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \)est la constante de Coulomb ;
- \(q_{e}\) est la charge élémentaire.
Dans un mouvement circulaire uniforme, cette force fournit exactement la force centripète nécessaire au maintien de l’orbite :
\[F_{centrip\overset{ˋ}{e}te} = \frac{m_{e}v^{2}}{r}\]
L’équilibre dynamique impose donc :
\[\frac{kq_{e}^{2}}{r^{2}} = \frac{m_{e}v^{2}}{r}\]
En multipliant par \(r\), on obtient :
\[\frac{kq_{e}^{2}}{r} = m_{e}v^{2} \]
Puis :
\[v^{2} = \frac{kq_{e}^{2}}{m_{e}r}\]
Et finalement :
\[v = \sqrt{\frac{kq_{e}^{2}}{m_{e}r}}\]
La vitesse orbitale décroît donc lorsque le rayon de l’orbite augmente.
On réintroduit maintenant cette expression dans la formule de la fréquence orbitale :
\[\nu_{Maxwell} = \frac{1}{2\pi r}\sqrt{\frac{kq_{e}^{2}}{m_{e}r}}\]
On peut regrouper les termes dépendant de \(r\ \):
\[\nu_{Maxwell} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{kq_{e}^{2}}{m_{e}}}\frac{1}{r^{3/2}}\]
Comme \(q_{e} > 0\), on peut écrire :
\[\mathbf{\nu}_{\mathbf{Maxwell}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2\pi}}\frac{\sqrt{\mathbf{k}}\mathbf{q}_{\mathbf{e}}}{\sqrt{\mathbf{m}_{\mathbf{e}}}\mathbf{r}^{\mathbf{3}\mathbf{/}\mathbf{2}}}\]
La fréquence du rayonnement classique varie donc comme :
\[\nu_{Maxwell} \propto \frac{1}{r^{3/2}}\]
Plus l’électron est éloigné du noyau, plus sa fréquence de rotation, et donc la fréquence du rayonnement émis, est faible.
Fréquence de rayonnement dans le modèle de Bohr
Dans le modèle de Bohr, l’électron ne rayonne pas lorsqu’il se trouve sur une orbite stationnaire. L’émission de lumière se produit uniquement lorsqu’il passe d’une orbite d’énergie élevée vers une orbite d’énergie plus basse.
Les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène sont donnés par :
\[E_{n} = \frac{E_{1}}{n^{2}}\]
Avec :
\[E_{1} = – \frac{k^{2}m_{e}q_{e}^{4}}{2\hbar^{2}}\]
Où \(E_{1}\ \)est l’énergie fondamentale de l’atome d’hydrogène.
Considérons une transition entre deux niveaux très proches. On note \(n\ \)le niveau final et \(k\ \)le niveau initial, avec :
\[k = n + \Delta n\]
Où :
\[\Delta n \ll n\]
L’énergie du photon émis est égale à la différence d’énergie entre les deux niveaux :
\[h\nu_{Bohr} = E_{k} – E_{n}\]
On a donc :
\[h\nu_{Bohr} = E_{1}\left( \frac{1}{k^{2}}-\frac{1}{n^{2}} \right)\]
Mais comme \(E_{1} < 0\), il est plus commode de raisonner sur la valeur absolue :
\[h\nu_{Bohr} = \mid E_{1} \mid \left( \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{k^{2}} \right)\]
En remplaçant \(k\) par \(n + \Delta n\), on obtient :
\[h\nu_{Bohr} = \mid E_{1} \mid \left\lbrack \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{(n + \Delta n)^{2}} \right\rbrack\]
Factorisons le deuxième terme :
\[\frac{1}{(n + \Delta n)^{2}} = \frac{1}{n^{2}}\frac{1}{\left( 1+\frac{\Delta n}{n} \right)^{2}}\]
On introduit :
\[\varepsilon = \frac{\Delta n}{n}\]
Avec \(\varepsilon \ll 1\). On utilise alors le développement limité :
\[\left( 1 + \varepsilon)^{- 2} = 1 – 2\varepsilon + 3\varepsilon^{2} + \right.\cdots\]
Au premier ordre :
\[\left( 1 + \varepsilon)^{- 2} \simeq 1 – 2\varepsilon \right.\ \]
Donc :
\[\frac{1}{(n + \Delta n)^{2}} \simeq \frac{1}{n^{2}}\left( 1-2\frac{\Delta n}{n} \right)\]
Ainsi :
\[\frac{1}{n^{2}} – \frac{1}{(n + \Delta n)^{2}} \simeq \frac{1}{n^{2}} – \frac{1}{n^{2}}\left( 1-2\frac{\Delta n}{n} \right) = \frac{1}{n^{2}}\left\lbrack 1-\left( 1-2\frac{\Delta n}{n} \right) \right\rbrack = \frac{1}{n^{2}}\left( 2\frac{\Delta n}{n} \right)\]
On obtient donc :
\[\frac{1}{n^{2}} – \frac{1}{(n + \Delta n)^{2}} \simeq \frac{2\Delta n}{n^{3}}\]
La fréquence du photon émis devient alors :
\[h\nu_{Bohr} \simeq \mid E_{1} \mid \frac{2\Delta n}{n^{3}}\]
Soit :
\[\nu_{Bohr} \simeq \frac{2 \mid E_{1} \mid}{h}\frac{\Delta n}{n^{3}}\]
En utilisant \(h = 2\pi\hbar\), on peut aussi écrire :
\[\nu_{Bohr} \simeq \frac{\mid E_{1} \mid}{\pi\hbar}\frac{\Delta n}{n^{3}}\]
Puis, en remplaçant :
\[\mid E_{1} \mid = \frac{k^{2}m_{e}q_{e}^{4}}{2\hbar^{2}}\]
On obtient :
\[\mathbf{\nu}_{\mathbf{Bohr}}\mathbf{\simeq}\frac{\mathbf{k}^{\mathbf{2}}\mathbf{m}_{\mathbf{e}}\mathbf{q}_{\mathbf{e}}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{2\pi}\mathbf{\hbar}^{\mathbf{3}}}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{n}}{\mathbf{n}^{\mathbf{3}}}\]
Cette expression montre que, pour des niveaux très élevés, la fréquence du rayonnement émis varie comme :
\[\nu_{Bohr} \propto \frac{\Delta n}{n^{3}}\]
Dans la limite des grands nombres quantiques, les niveaux d’énergie deviennent de plus en plus rapprochés. Pour une transition élémentaire \(\Delta n = 1\), la fréquence émise tend alors vers la fréquence classique du mouvement orbital de l’électron. C’est précisément l’illustration du principe de correspondance de Bohr.
Principe de correspondance
En introduisant la valeur de \(E_{1}\) dans l’expression du rapport entre les deux fréquences, celle du modèle classique et celle du modèle de Bohr, on trouve :
\[\frac{\vartheta_{Bohr}}{\vartheta_{Maxwell}} \cong \ \ \ \frac{k^{2}m_{e}q_{e}^{4}}{ħ^{3}}\ \frac{\mathrm{\Delta}n}{n^{3}}\ \frac{2\pi\sqrt{m_{e}}{r_{n}}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{k}q_{e}} = \mathrm{\Delta}n\ \ car\ r_{n} = \frac{{n^{2}ħ}^{2}}{k{m_{e}q}_{e}^{2}}\ \ \]
Quand n est très grand, pour deux orbites séparées par \(\mathrm{\Delta}n = 1,\ \)on retrouve donc la limite classique de Maxwell. Dans les niveaux très élevés, les orbites quantifiées deviennent extrêmement proches les unes des autres. Les transitions entre niveaux successifs produisent alors un rayonnement dont la fréquence tend vers la fréquence orbitale classique de l’électron. La structure discrète de la théorie quantique devient progressivement indiscernable, et le comportement classique émerge naturellement.
Le calcul précédent montre que, dans la limite des grands nombres quantiques, la fréquence du rayonnement prédite par le modèle de Bohr coïncide avec celle obtenue dans le cadre classique de l’électromagnétisme. Cette convergence n’est pas fortuite : elle constitue une illustration directe du principe de correspondance, qui impose la continuité entre les descriptions quantique et classique.
Ce résultat conforte la validité du modèle de Bohr dans son domaine d’application. Bien que fondé sur des postulats en rupture avec la physique classique, il parvient à en retrouver les prédictions lorsque les effets quantiques deviennent négligeables. Il assure ainsi une transition cohérente entre deux cadres théoriques a priori incompatibles.
Plus généralement, le principe de correspondance apparaît comme un outil essentiel dans l’élaboration des théories quantiques. Il permet de contraindre les nouvelles formulations et d’en vérifier la cohérence physique, en garantissant qu’elles prolongent correctement les lois classiques plutôt que de les contredire brutalement.
Ce principe jouera un rôle déterminant dans les développements ultérieurs de la mécanique quantique, notamment dans les travaux de Schrödinger, Heisenberg et Dirac, où il guidera la construction de formalismes capables d’unifier les descriptions ondulatoire et corpusculaire au sein d’un cadre mathématique plus général.