Le principe de moindre action

Après avoir découvert, avec Fermat, l’idée que la nature semble choisir la voie la plus « économique » pour déterminer le trajet de la lumière, une question nouvelle s’ouvre pour les savants du 18^ème siècle : ce principe d’économie est-il limité au domaine de l’optique ou reflète-t-il une loi plus générale de la nature ? C’est dans ce contexte intellectuel que Pierre Louis Moreau de Maupertuis propose une extension audacieuse : appliquer un principe variationnel non plus à la propagation de la lumière, mais au mouvement des corps soumis aux lois de Newton.

Il formule ainsi ce qui deviendra le principe de moindre action, considéré comme le premier principe unificateur fondé sur la minimisation d’une grandeur abstraite associée au mouvement. Cette tentative marque une étape décisive dans l’histoire des sciences : elle ouvre la voie à une formulation plus profonde et plus élégante de la mécanique, tout en suscitant débats philosophiques, objections scientifiques et controverses publiques, notamment celle qui l’opposa à Voltaire, avant de trouver sa véritable assise mathématique grâce aux travaux d’Euler.

La mécanique avant Maupertuis

Avant l’émergence du principe de moindre action au 18^ème siècle, la mécanique se construisait principalement sur les fondations posées par Galilée et Newton, et était encore largement imprégnée de réflexions philosophiques héritées d’Aristote. La mécanique classique de cette époque cherchait à comprendre et à prédire le mouvement des corps à partir de lois empiriques et de concepts physiques concrets, tels que la force, la vitesse, la masse et l’inertie.

Galilée (1564-1642) fut l’un des premiers à poser les bases d’une description quantitative du mouvement. Il introduisit l’idée que la trajectoire d’un corps pouvait être analysée indépendamment de sa nature qualitative ou de ses qualités « idéales » : un objet en chute libre, par exemple, accélère uniformément quel que soit son poids. Il établit ainsi les prémices de la notion d’inertie et de relation entre force et mouvement.

Galilée insista également sur l’importance de l’expérience et de la mesure : c’est par l’observation des mouvements et l’étude des chutes de corps ou des plans inclinés que l’on pouvait formuler des lois universelles. Cependant, son approche restait essentiellement locale et causale : chaque instant du mouvement était décrit par la force appliquée en ce point précis, et aucun principe global ne guidait le mouvement dans son ensemble.

Au 17^ème siècle, Isaac Newton (1642-1727) transforma la mécanique en un système mathématique rigoureux. Dans ses Principia Mathematica (1687), il énonça les trois lois du mouvement et la loi universelle de la gravitation, reliant directement la force appliquée à un corps et l’accélération qui en résulte.

La mécanique newtonienne se caractérise par une vision déterministe et causale : connaissant les positions et vitesses initiales d’un système ainsi que les forces qui s’exercent, on peut prédire le mouvement futur de façon unique. Chaque trajectoire résulte de l’intégration locale des forces agissant sur le corps à chaque instant. Cette approche permit des calculs précis et des prédictions remarquables, notamment pour le mouvement des planètes et des satellites.

Malgré sa puissance prédictive, la mécanique avant Maupertuis présentait plusieurs limites conceptuelles. D’une part, elle restait fragmentée et locale : on calculait les effets des forces point par point, sans disposer d’un critère global permettant de « choisir » naturellement la trajectoire d’un corps entre deux points. D’autre part, les physiciens commençaient à percevoir que certains phénomènes naturels semblaient obéir à des principes de régularité ou d’économie, mais il n’existait pas de cadre théorique unifié pour les formaliser.

C’est dans ce contexte qu’émerge l’intuition d’un principe global de la nature, capable de rendre compte de manière unifiée de la trajectoire des corps et, plus tard, de la lumière. Plutôt que de considérer seulement les causes locales (forces) à chaque instant, ce principe propose de penser en termes de variations et d’optimisation, anticipant ainsi les développements futurs de la physique analytique.

Ainsi, avant Maupertuis, la mécanique se présentait comme une science extraordinairement précise mais essentiellement fragmentée et causale, où la trajectoire d’un corps était la conséquence de forces locales agissant à chaque instant. L’idée d’un principe unificateur, qui décrirait le mouvement des corps comme le résultat d’une optimisation globale, allait bouleverser cette perspective et préparer le terrain pour l’émergence du principe de moindre action, introduit dans les années 1740.

L’énoncé du principe de moindre action

L’idée de Maupertuis ne surgit pas ex nihilo : elle s’inscrit dans une réflexion philosophico-scientifique sur l’harmonie et l’économie de la nature, caractéristiques de la pensée du 18^ème siècle. Maupertuis était profondément influencé par la conception d’un univers régi par la raison et la perfection divine, où les phénomènes naturels suivent des principes d’optimisation. L’observation des mouvements célestes, l’efficacité apparente des lois mécaniques de Newton, et même les régularités de l’optique de Fermat, lui suggérèrent que la nature choisit toujours la « voie la plus simple » ou « la plus économe ».

Fermat, un siècle plus tôt, avait déjà formulé ce type de raisonnement pour la lumière : entre deux points, un rayon suit le trajet qui minimise le temps de parcours. Maupertuis transpose cette idée à la mécanique des corps : la trajectoire d’un corps massif ne serait pas arbitraire, mais guidée par un principe d’économie, dans lequel une grandeur particulière, qu’il nomme action, atteint un minimum. Dans sa vision, cette optimisation n’est pas seulement une régularité physique, mais un reflet de la sagesse divine : le monde est conçu de telle sorte que la matière se meut toujours « avec le plus petit effort possible ».

En 1744^[1], Maupertuis énonce formellement son principe dans une lettre publiée à l’Académie de Berlin : « L’action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l’espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l’être suprême : Lorsqu’il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d’action, nécessaire pour ce changement, est la plus petite qui soit possible. »

Pour une particule de masse \(m\ \)et de vitesse \(v\), l’action \(S\ \)peut donc se définir comme le produit \(m\text{ }v\text{ }s\), où \(s\ \)représente la distance parcourue. Autrement dit, parmi toutes les trajectoires possibles reliant un point initial à un point final, celle qui est réellement suivie est celle pour laquelle l’intégrale de la quantité de mouvement le long du chemin est minimale.

Cette idée est directement inspirée du principe de Fermat en optique, où la lumière choisit le chemin le plus rapide : Maupertuis propose une analogie mécanique, mais avec l’action comme grandeur à minimiser au lieu du temps.

La justification et la formulation mathématique du principe de Maupertuis furent immédiatement reprises et précisées par Leonhard Euler en 1744. Euler traduisit l’intuition qualitative de l’« effort minimal » en une expression rigoureuse et générale pour les systèmes mécaniques. Il montra que la minimisation de l’action permettait de retrouver les équations du mouvement telles que Newton les avait établies.

\[Action = \ \int_{}^{}{mv\ dl}\]

Ainsi, le principe de Maupertuis n’était pas seulement une idée philosophique ou esthétique : il constituait un outil mathématique puissant capable de dériver la dynamique des corps à partir d’un critère global. Il introduisait pour la première fois la notion de principe variationnel en mécanique, ouvrant la voie à une approche qui dépasse l’analyse locale des forces pour considérer le système dans son ensemble.

Le principe de moindre action reçut un accueil favorable dans la communauté scientifique. Sa force résidait dans sa capacité à unifier différents domaines : il expliquait non seulement le mouvement des corps massifs, mais fournissait également un cadre conceptuel cohérent avec les lois de l’optique et la mécanique céleste. De nombreux savants du 18^ème siècle, notamment ceux de l’académie de Berlin et des cercles intellectuels parisiens, virent dans ce principe un signe que la nature obéissait à des règles simples et élégantes, harmonieuses avec la raison humaine.

Enfin, le principe de Maupertuis peut être considéré comme une étape fondamentale vers la physique moderne. Bien que sa justification métaphysique n’ait pas convaincu tous les contemporains, la formulation quantitative et la généralisation par Euler ont permis de jeter les bases de ce qui deviendra, au 19^ème siècle, le principe de moindre action généralisé et la mécanique analytique de Lagrange et Hamilton. Le mouvement des corps n’était plus seulement décrit par des forces locales, mais guidé par une propriété globale optimisée, ouvrant la voie à une nouvelle manière de penser la dynamique.

La controverse avec Voltaire

Ce principe de moindre action qui est aujourd’hui reconnu comme un principe à la fois universel et fondamental ne fit pourtant pas l’unanimité lorsque Maupertuis l’avait formulé. Il était dans un premier temps de nature plus philosophique que mathématique, et il fallut attendre les apports des mathématiciens Euler et Lagrange pour le faire accepter. Voltaire fut notamment un farouche adversaire de ce principe, peut-être tout simplement parce que Voltaire était un farouche adversaire de Maupertuis. Pour illustrer ce conflit on va se référer à l’écrivain français Emile Saigey qui rapportera cette querelle entre les deux grands hommes dans son livre « Les sciences au 18^ème siècle » en 1873 : « Mais la guerre éclata bientôt directement entre Voltaire et Maupertuis, et l’occasion de leur rupture fut une discussion d’ordre essentiellement scientifique. C’est un principe géométrique, le principe de la moindre action, qui mit le feu aux poudres.

Maupertuis avait formulé depuis quelques années un théorème auquel il attachait une importance extrême, et dont il voulait faire le fondement de la mécanique. Ce théorème est resté dans la science, mais sans conserver l’importance et la généralité qu’il lui attribuait. Si l’on considère un ensemble de points matériels soumis à des forces diverses, on peut se demander quelle est la somme du travail mécanique que les diverses parties du système accomplissent pendant que le système entier passe d’une position à une position voisine. Maupertuis, en se posant ce problème, trouvait que le travail mécanique ainsi développé est toujours, dans la nature, le plus petit qu’il puisse être. Il en concluait que la nature « va à l’épargne », c’est-à-dire qu’elle emploie pour ses opérations un minimum d’action …

C’est ici que Voltaire intervient dans la querelle… Son premier acte d’hostilité fut la fameuse Diatribe du docteur Akakia, où il tournait en ridicule les idées et les ouvrages de Maupertuis… En somme, la Diatribe du docteur Akakia nous montre Voltaire tel que nous le retrouverons dans tout ce qui touche à ces sciences qu’on appelle plus particulièrement les sciences naturelles. Il faut faire la part, et une grande part, à son animosité contre Maupertuis : elle l’aveugle et lui fait dépasser le but ; mais, à côté de ce motif d’exagération, nous trouvons chez lui cette tendance à laquelle il sera fidèle quand il traitera de sang-froid des sciences naturelles, cette aversion prononcée pour toute explication systématique des phénomènes. Il réagit contre l’habitude invétérée qui portait les savants de son siècle à ne regarder la nature qu’à travers des théories. Dès qu’on tente d’expliquer les faits, il se défie et se rebiffe ». Cette diatribe du docteur Akakia de Voltaire contre Maupertuis entraina la colère du roi Frédéric contre Voltaire qu’il accueillait à la cour de Berlin. Voltaire prit congé de Frédéric pour ne plus le revoir.

Au-delà de la satire et des rivalités personnelles, cette querelle illustre l’un des tournants intellectuels majeurs du 18^ème siècle : l’affrontement entre une vision rationaliste et littéraire du monde naturel, incarnée par Voltaire, et une tentative de formulation de lois générales fondées sur des grandeurs abstraites, portée par Maupertuis. Si le principe de moindre action fut d’abord discrédité par le ridicule et la caricature, ce n’est pas la plume acérée de Voltaire qui en décida le destin, mais l’évolution des sciences.

Ce principe ne devait réellement prendre sens et légitimité qu’au moment où Euler, puis plus tard Lagrange, lui fournirent une assise mathématique rigoureuse et indépendante des spéculations métaphysiques auxquelles Maupertuis l’avait associé. Ainsi, la querelle célèbre moins l’erreur ou la clairvoyance des protagonistes qu’elle ne révèle la difficulté, pour les savants de l’époque, d’accepter qu’un principe fondamental puisse émerger non d’une force, d’un mouvement ou d’un objet physique, mais d’une quantité à minimiser. La postérité consacra Maupertuis non pour la forme initiale de son principe, mais pour avoir ouvert la voie à une nouvelle manière de concevoir les lois de la nature, une manière que Voltaire, malgré son génie littéraire, ne pouvait alors saisir.

L’apport du mathématicien suisse Leonhard Euler

Le mathématicien suisse Leonhard Euler joua un rôle déterminant dans l’élaboration du principe de moindre action en lui donnant une formulation mathématique précise. Alors que Maupertuis avait formulé un principe général à portée philosophique, la nature « agit toujours par la moindre quantité d’action », Euler fut le premier à lui donner un contenu scientifique précis, débarrassé des interprétations métaphysiques et exprimé dans un langage mathématique rigoureux. Là où Maupertuis invoquait une économie universelle de la nature, Euler entreprit de déterminer ce qu’est exactement cette « action », comment elle se calcule et quelles lois du mouvement elle implique.

À partir du début des années 1740, Euler cherche à établir une méthode permettant de déterminer la trajectoire d’un système mécanique en trouvant non pas directement les forces, comme chez Newton, mais la forme de la courbe qui rend extrémale (en pratique : minimale) une certaine grandeur intégrée le long du mouvement. Cette démarche aboutit dans son ouvrage majeur Methodus inveniendi lineas curvas publié en 1744^[2], dans lequel il fonde ce que l’on appelle aujourd’hui le calcul des variations. Euler y montre que l’on peut déterminer une trajectoire physique en cherchant la courbe pour laquelle une intégrale est minimale, et qu’à cette recherche est associée une équation différentielle, connue désormais sous le nom d’équation d’Euler.

Pour la première fois, le principe de moindre action devenait donc opérationnel : l’action pouvait être définie mathématiquement, la condition de minimum conduisait à une équation gouvernant le mouvement, et la trajectoire réelle devenait la solution d’un problème variationnel.

Euler applique cette méthode à des situations mécaniques concrètes : mouvements soumis à des forces centrales, systèmes contraints, pendules, corps célestes. Il montre notamment que dans le cas d’une force centrale, la trajectoire observée minimise effectivement l’action telle que Maupertuis l’avait définie, fournissant ainsi la première démonstration mathématique du principe. Là où Maupertuis défendait son idée sur un terrain philosophique, Euler démontrait qu’elle produisait les mêmes résultats que la dynamique newtonienne, mais par une voie conceptuellement différente.

Cette évolution marque un glissement profond : la mécanique ne repose plus uniquement sur les forces et les lois du mouvement de Newton, mais devient accessible par des principes variationnels, dans lesquels les trajectoires résultent d’une optimisation. C’est précisément cet espace conceptuel qu’exploiteront plus tard Joseph-Louis Lagrange et, un siècle après, Hamilton. Toutefois, à ce stade, Euler n’a pas encore reformulé toute la mécanique dans ce cadre : il prépare le terrain, structure l’outil mathématique et démontre sa puissance sur des cas exemplaires, sans encore unifier l’ensemble de la discipline.

Un autre aspect essentiel est le contexte institutionnel : après avoir rejoint l’académie de Berlin, Euler y travaille sous la présidence de Maupertuis à partir de 1746. Bien que leurs tempéraments et leurs motivations diffèrent, cette proximité permet une consolidation du principe : Maupertuis le promeut comme principe de la nature, tandis qu’Euler en établit la validité mathématique. Ironie historique, alors que Voltaire ridiculisait Maupertuis, c’est Euler, silencieux, méthodique et prolifique, qui assurait la postérité scientifique du principe.

Aujourd’hui, le principe de moindre action est considéré comme l’un des principes les plus fondamentaux de toute la physique théorique. La quasi-totalité des théories physiques modernes peuvent être exprimées sous forme variationnelle : l’optique géométrique, la mécanique classique, la mécanique quantique (où l’action apparaît dans l’intégrale de Feynman), la théorie quantique des champs, et même la relativité générale d’Einstein où les équations du champ découlent d’une action extrémale.

Si ces développements dépassent le cadre du présent article, il reste que la pierre fondatrice (la possibilité de déduire des équations du mouvement à partir du calcul de la valeur extrême d’une intégrale) revient à Euler.

Suites et influence

Le principe de moindre action, tel qu’élaboré par Maupertuis et formalisé par Euler, ne se limita pas à résoudre des problèmes ponctuels de mécanique ou à démontrer la cohérence de la dynamique newtonienne par une approche alternative. Il ouvrit un nouveau paradigme conceptuel dans la physique : celui de la physique fondée sur des principes variationnels, où les trajectoires et les évolutions des systèmes sont déterminées par l’optimisation d’une grandeur globale plutôt que par le calcul direct des forces locales.

L’idée que la nature « choisit » le chemin qui minimise l’action devint progressivement une clé d’unification dans différents domaines. Euler montra que cette méthode pouvait s’appliquer à des systèmes contraints, à des corps soumis à des forces centrales, ou encore à des oscillateurs. Mais c’est au tournant du 18^ème et du 19^ème siècle que cette approche trouva sa pleine puissance, lorsque les mathématiciens commencèrent à développer des outils généraux permettant d’appliquer systématiquement le principe à des systèmes mécaniques complexes.

C’est dans ce contexte que Joseph-Louis Lagrange prit le relais. S’inspirant directement du principe de Maupertuis et des travaux formels d’Euler sur le calcul des variations, Lagrange entreprit de réécrire toute la mécanique classique dans un langage basé sur des grandeurs scalaires et des équations dérivées de l’optimisation d’une fonction appelée Lagrangien. Là où Euler avait montré la faisabilité du principe de moindre action pour des cas précis, Lagrange le transforma en outil général et universel, capable de traiter tous les systèmes mécaniques, qu’ils soient libres ou soumis à des contraintes complexes.

Le passage du principe philosophique de Maupertuis à la formulation mathématique d’Euler, puis à l’approche généralisée de Lagrange, illustre une évolution majeure de la pensée scientifique : de l’intuition à la rigueur, de l’idée métaphysique à la méthode universelle. La mécanique ne se limite plus à la description locale des forces et des accélérations, mais devient une discipline capable de prévoir et d’optimiser les trajectoires de manière globale.

Enfin, cette transition prépare naturellement le développement ultérieur par William Rowan Hamilton, qui introduira l’action hamiltonienne et ouvrira la voie à la mécanique analytique moderne et à la physique théorique contemporaine, notamment la mécanique quantique et la relativité. Le principe de moindre action, bien que formulé dans le cadre de la mécanique classique, s’affirme ainsi comme une idée fondatrice dont l’influence traverse tous les siècles de la physique, faisant le lien entre optique, mécanique et les théories modernes de la nature.

Conclusion

Le principe de moindre action constitue l’un des tournants conceptuels majeurs de la physique. Né d’une intuition d’économie naturelle, prolongée depuis l’optique de Fermat jusqu’à la mécanique de Maupertuis, il a progressivement transformé la manière de formuler les lois du mouvement. Là où la mécanique newtonienne décrit localement l’action des forces sur les corps, le principe variationnel propose une lecture globale : parmi toutes les trajectoires possibles, la trajectoire réelle est celle qui rend stationnaire une certaine grandeur, l’action.

Cette idée, d’abord mêlée à des considérations philosophiques et métaphysiques, n’a acquis sa véritable puissance qu’avec le travail mathématique d’Euler, puis avec la généralisation opérée par Lagrange et Hamilton. Elle est alors devenue bien plus qu’un principe d’élégance : un outil de calcul, de prédiction et d’unification.

La postérité du principe dépasse largement la mécanique classique. On le retrouve au cœur de l’optique, de la relativité générale, de la mécanique quantique et de la théorie quantique des champs. Dans chacune de ces théories, les équations fondamentales peuvent être obtenues à partir d’une action dont on recherche l’extremum. Cette permanence montre que le principe de moindre action n’est pas une curiosité historique, mais l’un des langages les plus profonds de la physique moderne.

Ainsi, de Fermat à Maupertuis, puis d’Euler à Lagrange et Hamilton, s’est imposée une idée essentielle : la nature peut être comprise non seulement comme un enchaînement local de causes, mais aussi comme l’expression d’une structure globale, mathématique et variationnelle. C’est cette idée qui continue aujourd’hui de guider une grande partie de la physique théorique.

1. Pierre Louis de Maupertuis, « Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu’ici parues incompatibles », Mémoires de l’académie des sciences de Paris, 1744 ↑
2. Euler, Leonhard. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Lausannae & Genevae (Lausanne et Genève), 1744. ↑