La radioactivité constitue l’un des phénomènes les plus marquants découverts au tournant du 20ème siècle. Mise en évidence expérimentalement par Henri Becquerel puis étudiée en profondeur par Marie Curie et Pierre Curie, elle révèle que certains noyaux atomiques sont instables et peuvent se transformer spontanément en émettant des particules ou du rayonnement.
Cette découverte introduit une rupture importante avec la vision classique de la matière. Jusque-là, les atomes étaient souvent considérés comme des structures immuables. La radioactivité montre au contraire que les noyaux possèdent une dynamique interne et qu’ils peuvent évoluer spontanément vers des états plus stables.
Un aspect particulièrement remarquable de la désintégration radioactive est son caractère aléatoire. Il est impossible de prévoir à quel instant précis un noyau individuel va se désintégrer. Deux noyaux identiques placés dans les mêmes conditions peuvent avoir des comportements totalement différents : l’un peut se désintégrer immédiatement, tandis que l’autre subsistera pendant des milliers d’années.
Cependant, si le comportement d’un noyau isolé est imprévisible, celui d’un très grand ensemble de noyaux obéit à une loi statistique extrêmement simple et universelle. Lorsqu’on considère un échantillon contenant un grand nombre de noyaux radioactifs, on observe que le nombre de noyaux restants décroît suivant une loi exponentielle caractérisée par une constante propre à chaque espèce radioactive.
Cette loi de décroissance constitue l’un des premiers exemples historiques où la physique fait intervenir explicitement des notions probabilistes pour décrire un phénomène fondamental. Elle illustre de manière remarquable la transition entre le hasard microscopique et les lois déterministes observées à l’échelle macroscopique.
Dans ce qui suit, nous allons montrer comment l’hypothèse probabiliste élémentaire selon laquelle chaque noyau possède une certaine probabilité de se désintégrer par unité de temps conduit naturellement à l’équation différentielle de décroissance radioactive, puis à la célèbre loi exponentielle décrivant l’évolution du nombre de noyaux et de l’activité radioactive au cours du temps.
L’introduction de la constante radioactive \(\lambda\ \)possède une interprétation probabiliste fondamentale. Elle représente la probabilité par unité de temps qu’un noyau donné se désintègre. Autrement dit, pendant un intervalle de temps infinitésimal \(dt\), la probabilité qu’un noyau se désintègre est égale à \(\lambda\text{ }dt\). Cette probabilité est indépendante du temps déjà écoulé : un noyau « ancien » n’a pas plus de chance de se désintégrer qu’un noyau « jeune ». On dit que la décroissance radioactive est un processus sans mémoire.
C’est précisément cette propriété qui conduit à la loi exponentielle. En effet, la variation du nombre de noyaux est proportionnelle au nombre de noyaux présents, ce qui se traduit naturellement par l’équation différentielle :
\[\frac{dN(t)}{dt} = – \lambda N(t)\]
On considère un échantillon de matière radioactive constituée de \(N(t)\) noyaux atomiques à l’instant t. On définit l’activité nucléaire instantanée \(\mathbf{A}\left( \mathbf{t} \right)\) de cet échantillon à l’instant t comme le nombre de noyaux atomiques ayant disparus pendant la durée dt. On a :
\[A(t) = \ – \frac{dN(t)}{dt}\]
L’activité instantanée dépend du nombre de noyaux atomiques contenus dans l’échantillon de matière. On introduit la constante radioactive \(\mathbf{\lambda}\) comme étant le facteur de proportionnalité entre l’activité instantanée et le nombre de noyaux atomiques :
\[A(t) = \lambda N(t)\]
L’évolution du nombre de noyaux atomiques présents dans l’échantillon de matière est donc régie par une équation différentielle linéaire du premier ordre. On ne fait pas plus simple !
\[\ \ \lambda\ N(t) + \ \ \frac{dN(t)}{dt} = 0\]
On en déduit immédiatement la loi de décroissance radioactive en fonction de la constante radioactive :
\[N(t) = N(0)\ e^{- \lambda t}\ avec\ N(0)\ le\ nombre\ de\ noyaux\ à\ t = 0\]
On introduit alors la demi-vie correspondant au type de matière radioactive comme la durée nécessaire à la désintégration de la moitié des noyaux radioactifs. On a par définition :
\[N\left( t + T_{1\text{/}2} \right) = \frac{1}{2}N(t)\]
D’où on déduit la valeur de la demi-vie en fonction de la constante radioactive :
\[T_{1\text{/}2} = \ \frac{ln2}{\lambda}\]
On peut également exprimer l’activité sous la forme :
\[A(t) = \lambda N(t) = \lambda N(0)e^{- \lambda t}\]
L’activité décroît donc elle aussi de manière exponentielle. Elle est maximale à l’instant initial et diminue au cours du temps à mesure que les noyaux radioactifs disparaissent. L’unité de l’activité est le becquerel (Bq), correspondant à une désintégration par seconde.
La loi de décroissance radioactive constitue un exemple remarquable de l’articulation entre hasard et déterminisme en physique. Si la désintégration d’un noyau individuel est imprévisible, l’évolution d’un grand ensemble de noyaux obéit à une loi simple, universelle et parfaitement déterminée.
La forme exponentielle de cette loi reflète le caractère sans mémoire du processus, et la constante radioactive \(\lambda\ \)en constitue le paramètre fondamental. La notion de demi-vie, directement reliée à cette constante, fournit une échelle de temps naturelle pour caractériser chaque espèce radioactive.
Cette loi joue un rôle essentiel dans de nombreux domaines : datation radioactive (carbone 14), médecine nucléaire, physique des particules ou encore astrophysique. Elle illustre de manière exemplaire comment un phénomène fondamentalement probabiliste peut conduire, à grande échelle, à une description mathématique simple et universelle.