Un corps noir est un système idéal capable d’absorber intégralement tout le rayonnement électromagnétique qu’il reçoit, quelle que soit la longueur d’onde considérée. Lorsqu’il est porté à une température donnée, il réémet un rayonnement dont le spectre ne dépend que de cette température. L’étude expérimentale de ce spectre a joué un rôle fondamental dans la naissance de la physique quantique.
L’introduction de la quantification constitue une étape conceptuelle décisive dans l’explication du spectre de rayonnement du corps noir. Il est utile d’en exposer brièvement l’origine mathématique et de comprendre en quoi elle permet d’aboutir à la loi de Planck. Les premières tentatives d’interprétation du spectre du rayonnement du corps noir, notamment celle de Rayleigh, s’inscrivaient déjà dans le cadre de la physique statistique développée par Boltzmann, en cherchant à relier les propriétés macroscopiques du rayonnement au comportement moyen des oscillateurs microscopiques.
Rayleigh faisait l’hypothèse que la lumière émise par le corps noir était liée à l’agitation permanente des électrons. Dans cette approche, les électrons présents dans la matière sont assimilés à de petits oscillateurs harmoniques capables d’émettre et d’absorber du rayonnement électromagnétique à différentes fréquences.
Plus la température du corps noir est importante, plus l’agitation des électrons est importante, et plus l’intensité de la lumière est importante. Il supposa que l’intensité de la lumière émise à une fréquence donnée était le produit du nombre d’oscillateurs (le nombre d’électrons) à cette fréquence donnée, par l’énergie moyenne d’une charge oscillant à cette fréquence. Il pouvait alors écrire la densité spectrale d’énergie de la façon suivante :
\[u(\vartheta,\ T) = \ \begin{Bmatrix} Nombre\ de\ degrés \\ de\ liberté \\ par\ fréquence \end{Bmatrix}\ \ \begin{Bmatrix} Energie\ moyenne \\ par\ degré\ de\ liberté \end{Bmatrix}\ = \ \frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}\ \times \overline{E}\]
Dans l’approche de Rayleigh les niveaux d’énergie sont supposés continus, et l’énergie moyenne peut donc d’exprimer, en se référant à la statistique de Boltzmann, de la façon suivante :
\[\overline{E} = \frac{\int_{}^{}{E\ e^{- \frac{E}{kT}}\ }dE}{\int_{}^{}{e^{- \frac{E}{kT}}dE}} = kT\ \ avec\ k\ la\ constante\ de\ Boltzmann\]
La loi de Rayleigh s’exprime alors comme suit :
\[u(\vartheta,\ T) = \frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}\ \times kT\]
Cette formule prédit que la densité d’énergie augmente indéfiniment lorsque la fréquence augmente. Autrement dit, un corps noir devrait émettre une quantité infinie d’énergie dans le domaine des hautes fréquences (ultraviolet et au-delà), ce qui est totalement incompatible avec les observations expérimentales. Cette contradiction est connue sous le nom de « catastrophe ultraviolette.
Comme on l’a déjà dit la formule de Rayleigh conduit à une divergence à haute fréquence. Par ailleurs quand on intègre l’énergie sur l’ensemble des fréquences, on obtient une valeur infinie, ce qui est évidemment impossible. Planck fait alors l’hypothèse géniale que les niveaux d’échanges d’énergie ne sont plus continus, mais quantifiés. Dans l’approche classique, un oscillateur peut échanger une quantité arbitrairement petite d’énergie. Planck suppose au contraire que ces échanges ne peuvent se faire que par paquets élémentaires de taille \(h\nu\). L’énergie devient donc discrète : un oscillateur ne peut posséder que certaines valeurs bien déterminées. Deux niveaux d’énergie sont alors séparés par une valeur constante dépendant de la fréquence \(\nu\) suivant la formule \(E = h\nu\), avec \(h\ \)la constante de Planck.
Il faut dans ce cas remplacer les termes d’intégrales par des séries infinies pour calculer la valeur moyenne de l’énergie. On obtient que l’énergie moyenne est maintenant donnée par :
\[\overline{E} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty}{E_{n}e^{- \frac{E_{n}}{kT}}}}{\sum_{n = 0}^{\infty}e^{- \frac{E_{n}}{kT}}}\ \ avec\ E_{n} = nh\nu\ pour\ n = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots\infty\]
La série est convergente parce que l’exponentielle est strictement inférieure à un. Les états de très grande énergie deviennent ainsi exponentiellement improbables. Contrairement à la théorie classique, les hautes fréquences ne contribuent donc plus de manière divergente à l’énergie totale rayonnée. Connaissant la valeur de ces séries, on arrive à la formule de l’énergie moyenne puis à la formule proposée par Planck :
\[\overline{E} = \frac{\frac{h\nu{\ e}^{- \frac{h\nu}{kT}}}{\left( 1 – {\ e}^{- \frac{h\nu}{kT}} \right)^{2}}}{\frac{1}{1 – {\ e}^{- \frac{h\nu}{kT}}}}\ = \frac{h\nu{\ e}^{- \frac{h\nu}{kT}}}{1 – {\ e}^{- \frac{h\nu}{kT}}} = \frac{h\nu}{{\ e}^{\frac{h\nu}{kT}} – 1}\]
La densité spectrale d’énergie d’un corps noir en fonction de la fréquence \(\nu\) et de la température T est donnée par la formule de Planck :
\[\mathbf{u}\left( \mathbf{\vartheta,\ T} \right)\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{8\pi h}\mathbf{\nu}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{c}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\ \times}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{e}^{\frac{\mathbf{h\nu}}{\mathbf{kT}}}\mathbf{- 1}}\]
Le facteur \(\nu^{3}\ \)tend à faire croître rapidement la densité spectrale avec la fréquence. Mais le terme exponentiel au dénominateur domine aux hautes fréquences et provoque une décroissance très rapide du spectre. L’équilibre entre ces deux comportements explique l’existence d’un maximum d’émission pour une fréquence donnée.
On constate immédiatement qu’aux grandes fréquences la loi de Planck correspond à la Loi de rayonnement de Wien, et qu’aux basses fréquences elle correspond à la loi de Rayleigh-Jeans. Cette loi de Planck permet donc de concilier les approches antérieures proposées pour les basses et les hautes fréquences. Par ailleurs, on trouve la loi de Stephan-Boltzmann en intégrant cette densité d‘énergie sur l’ensemble de la gamme de fréquence.
On va également illustrer par un calcul très rapide comment on retrouve la loi de déplacement de Wien à partir de cette loi de Planck. On cherche le maximum de la fonction \(u(\vartheta,\ T)\ \)pour une température donnée. Il faut donc trouver la valeur de la fréquence qui annule la dérivée première de cette fonction.
Le spectre du corps noir peut être exprimé soit en fonction de la fréquence \(\nu\), soit en fonction de la longueur d’onde \(\lambda\), les deux grandeurs étant reliées par la relation \(\lambda\nu = c\), où \(c\ \)est la vitesse de la lumière.
Pour simplifier les calculs, d’une part on va prendre l’inverse de la fonction (le maximum correspond au minimum de sa fonction inverse …) et d’autre part, on va exprimer cette densité spectrale en fonction de la longueur d’onde. On a :
\[u(\lambda,\ T) = \ \frac{\alpha}{\lambda^{5}}\ \times \frac{1}{e^{\frac{\beta}{\lambda T}} – 1}\ \ avec\ \lambda\vartheta = c\]
On obtient :
\[d\left( \frac{\alpha}{u(\lambda,\ T)} \right) = 5\lambda^{4}\left( e^{\frac{\beta}{\lambda T}} – 1 \right) – \lambda^{5}{\frac{\beta}{\lambda T}e}^{\frac{\beta}{\lambda T}} = \ \lambda^{4}\left\lbrack 5\left( e^{x} – 1 \right) – xe^{x} \right\rbrack\ avec\ x = \frac{\beta}{\lambda T}\]
Il faut donc trouver x, tel que \(5\left( e^{x} – 1 \right) – xe^{x} = 0\). Si on exclue la solution triviale \(x = 0\) (qui correspond à une longueur d’onde infinie), on trouve l’autre valeur \(x_{\max}\ \)qui annule cette fonction par interpolation : \(x_{\max}\sim 4,965.\ Or\ :\)
\[\lambda_{\max} = \frac{\beta}{x_{\max}T}\ avec\ \beta = \frac{hc}{k}\ = 0,144\]
Et, en introduisant la valeur de \(x_{\max}\) précédemment trouvée, on obtient la loi de déplacement de Wien :
\[\lambda_{\max} = \frac{2,9*10^{- 3}}{T}\]
Cette relation montre que plus un corps est chaud, plus le maximum d’émission se déplace vers les courtes longueurs d’onde. C’est ce qui explique par exemple qu’un métal chauffé passe progressivement du rouge au blanc lorsqu’on augmente sa température.
La formule de Planck permet donc de retrouver l’ensemble des formules antérieures, celle de Wien reliant la longueur d’onde du pic d’émissivité et la température, mais également celles proposées pour la densité spectrale d’énergie : la loi de Wien pour les courtes longueurs d’onde (hautes fréquences) et de la loi de Rayleigh-Jeans pour les grandes longueurs d’onde (basses fréquences).
La loi de Planck possède donc le bon comportement dans les deux régimes extrêmes :
- Aux basses fréquences, les effets quantiques deviennent négligeables et on retrouve la physique classique ;
- Aux hautes fréquences, la quantification supprime la divergence prédite par Rayleigh-Jeans.
L’introduction de la quantification de l’énergie marque ainsi un tournant fondamental dans l’analyse du rayonnement du corps noir. Là où l’approche classique conduisait inévitablement à des divergences, l’hypothèse de Planck impose une structure discrète aux échanges d’énergie, qui modifie en profondeur le calcul des grandeurs statistiques. Le passage des intégrales continues aux séries discrètes n’est pas un simple artifice mathématique : il reflète une propriété physique nouvelle, selon laquelle l’énergie ne peut être échangée que par paquets élémentaires proportionnels à la fréquence.
Cette hypothèse permet non seulement de retrouver une expression correcte de la densité spectrale sur l’ensemble du spectre, mais aussi de réconcilier les lois limites obtenues précédemment. La loi de Planck apparaît ainsi comme une synthèse des résultats expérimentaux et des approches théoriques antérieures, tout en révélant leurs limites fondamentales.
Quelques années plus tard, Einstein prolongera l’idée de Planck en proposant que le rayonnement électromagnétique lui-même soit constitué de quanta d’énergie localisés, les futurs photons. Cette hypothèse jouera un rôle fondamental dans l’explication de l’effet photoélectrique.
Au-delà de son succès empirique, cette formulation introduit une rupture conceptuelle majeure : elle remet en cause la continuité des grandeurs physiques au cœur de la mécanique classique. Ce pas décisif, initialement motivé par un problème spécifique de rayonnement thermique, ouvre en réalité la voie à une transformation beaucoup plus profonde de la physique, qui trouvera son prolongement dans les développements ultérieurs de la théorie quantique.
Il est intéressant de noter que Planck considérait initialement cette quantification comme un simple procédé mathématique destiné à reproduire les résultats expérimentaux. Ce n’est qu’avec les travaux ultérieurs d’Einstein, Bohr et de Broglie que la quantification sera progressivement interprétée comme une propriété fondamentale de la nature.