Nous allons illustrer dans cet article le calcul des coefficients de Christoffel et du calcul des géodésiques en reprenant l’exemple simple de la sphère. Considérons une sphère de rayon \(R\), paramétrée par les coordonnées sphériques usuelles \(\left( \theta,\varphi \right)\), où
- \(\theta\ \)est la colatitude (\(0 \leq \theta \leq \pi\))
- \(\varphi\ \)est la longitude (\(0 \leq \varphi < 2\pi\))
La métrique induite par l’espace euclidien dans ces coordonnées est :
\[ds^{2} = R^{2}\text{ }d\theta^{2} + R^{2}{sin}^{2}\theta\text{ }d\varphi^{2}\]
D’où les composantes du tenseur métrique :
\[g_{\theta\theta} = R^{2},g_{\varphi\varphi} = R^{2}{sin}^{2}\theta,g_{\theta\varphi} = 0\]
Calcul des coefficients de Christoffel :
On utilise :
\[\Gamma_{jk}^{i} = \frac{1}{2}g^{il}\left( \partial_{j}g_{lk} + \partial_{k}g_{lj} – \partial_{l}g_{jk} \right)\]
La seule dérivée non nulle est :
\[\frac{\partial g_{\varphi\varphi}}{\partial\theta} = 2R^{2}\sin\theta\cos\theta\]
On trouve alors les seuls coefficients non nuls :
\[\Gamma_{\varphi\varphi}^{\theta} = \ – \sin\theta\cos\theta\ \ \ et\ \Gamma_{\theta\varphi}^{\varphi} = \ \Gamma_{\varphi\theta}^{\varphi} = \ \cot\theta\]
Tous les autres coefficients sont nuls ou identiquement liés par symétrie.
Équations des géodésiques de la sphère :
Les équations générales :
\[\frac{d^{2}x^{i}}{d\lambda^{2}} + \Gamma_{jk}^{i}\frac{dx^{j}}{d\lambda}\frac{dx^{k}}{d\lambda} = 0\]
se réduisent ici à deux équations couplées :
- Pour \(\theta(\lambda)\ \):
\[\frac{d^{2}\theta^{\ }}{d\lambda^{2}} – \sin\theta\cos{\theta\ \left( \frac{d\varphi^{\ }}{d\lambda} \right)^{2}} = 0\]
- Pour \(\varphi(\lambda)\ \):
\[\frac{d^{2}\varphi^{\ }}{d\lambda^{2}} + 2\cot{\theta\ }\frac{d\theta}{d\lambda}\frac{d\varphi^{\ }}{d\lambda}\ = 0\]
Interprétation : les grands cercles :
Ces équations permettent notamment de montrer qu’un grand cercle, comme l’équateur ou tout autre cercle obtenu par intersection de la sphère avec un plan passant par son centre, satisfait bien les équations ci-dessus.
Par exemple, pour l’équateur, si \(\theta = \pi/2\), alors \(\cot\theta = 0\), donc
\[\frac{d^{2}\varphi}{d\lambda^{2}} = 0 \Rightarrow \varphi(\lambda) = a\lambda + b\]
La géodésique est donc une ligne droite en coordonnées \(\left( \theta,\varphi \right)\). Ainsi, le calcul explicite confirme le résultat géométrique intuitif : sur une sphère, les géodésiques sont les grands cercles.
